§ 6. Обзор литературы

Обзор составлен по следующему плану: основные источники, исследование свойств функций Уолша и спектров Уолша в связи с их использованием в управлении и связи, характерные применения преобразований Уолша в области управления, характерные применения преобразований Уолша в области связи, использование преобразований Хаара, применение

преобразований Уолша и Хаара при анализе и синтезе систем логического действия, обобщенные методы преобразований и их использование. Разделение применений на те, которые относятся к управлению или к связи, в какой-то мере условное, так как в ряде случаев они актуальны и для области управления, и для области связи.

А. Основные источники. Прошло много десятилетий со времени опубликования работ Адамара [172], Хаара [171], Радемахера [223], Уолша [245, 246], Пэли [211, 212]. До конца шестидесятых и начала семидесятых годов этого столетия проявляли интерес к ним лишь специалисты-математики. В эти годы в связи с началом бурного развития вычислительной техники и выявлением преимуществ, которые дает при цифровой обработке информации использование преобразований Уолша и Хаара, все большее внимание уделяют этим преобразованиям специалисты, занимающиеся вопросами управления и связи. Публикуется ряд фундаментальных работ, оказавших большое влияние на развитие данного направления. Это работы X. Хармута [173-177], книга [100] A. M. Трахтмана и В. А. Трахтмана, книги [77, 89-91], [8], [139], [23], [157]. Позднее вышли в свет книги [22, 70, 124] и книги ряда других авторов, было опубликовано много касающихся данного вопроса статей, ссылки на некоторые из которых даются в следующих разделах настоящего обзора. Разделы, посвященные использованию функций Уолша и Хаара, включаются в учебные курсы (см. [18, 88]); в изданном в 1984 г. учебном курсе [74] для специальностей ЭВМ и автоматизированные системы управления все изложение основано на использовании функций Уолша. Значение применения преобразований Уолша и Хаара при цифровой обработке информации не сразу было оценено рядом специалистов. В некоторых книгах, посвященных обработке информации, на которые были сделаны ссыпки в гл. II и III, функции Уолша и Хаара вообще не упоминаются. Это, например, часто называвшиеся нами книга А.В. Оппенгейма, Р.В. Шафера и книга Л. Рабинера, Б. Гоулда, а также указанные в данном списке литературы книги [43, 67]. Это же касается и ряда упоминавшихся в гл. Ни III курсов теории автоматического управления.

Проведенные в начале семидесятых годов симпозиумы по применению функций Уолша ([130-135,240] и др.) показали, что эти функции могут эффективно использоваться при решении многих задач управления и связи. Применениям функций Уолша посвящен ряд обзоров ([55, 129] и др.). В обзоре [221] даны ссылки более чем на 230 источников в которых рассмотрены применения функций Уолша и других кусочно-постоянных ортогональных функций. Ранее составленный обзор [143] содержит ссылки на более чем 800 работ по этой тематике.

Б. Исследование свойств функций Уолша и преобразований Уолша в связи с их использованием в управлении и связи. Данные исследования свойств функций Уолша и спектров Уолша приведены в литературе, упомянутой нами ранее, а также в статьях [54, 57, 101,102, 121, 141, 161, 248]. Различные алгоритмы преобразований Уолша, в том числе БПУ, рассмотрены в работах [16, 59, 83, 117, 145, 146, 191, 201, 208, 209, 247, 250, 251]. Вычисление корреляционных функций и выполнение сверток с испол ьзованием функции Уолша описаны в статьях . Применение функций Уолша при Исследовании случайных

процессов отражено в публикациях [5, 65, 66, 69, 72, 104, 113, 150, 159,187, 206, 214]. Применение функций Уолша для формирования других функций и соответственно при выполнении других функций будет рассмотрено в последних разделах данного обзора; отметим здесь лишь их использование для выполнения дискретного преобразования Гильберта, описанное в статьях [13, 14]. Вопросы применения функций Уолша при построении фильтров освещены в работах работы [31, 177] касаютей использования аналоговых фильтров при обработке информации с применением сигналов Уолша.

В. Характерные применения в области управления. Исследования, связанные с применением функций Уолша при изучении динамики систем, отражены в работах [93, 144, 150, 195, 210, 217, 224, 225]. На использование функций Уолша при изучении процессов, на протекание которых оказывает влияние наличие нелинейностей, указано в статьях [147, 158, 186, 194]. Применению этих функций при построении оптимальных систем управления посвящены работы [149, 179, 190,199, 218]. Работа [189] содержит сведения о применении функций Уолша в технике моделирования. Вопросы применения функций Уолша при идентификации объектов и систем управления рассмотрены в статьях [75, 76, 78, 96, 148, 156, 188, 226, 227, 228, 238, 242]. Использование функций Уолша при разработке и исследовании отдельных видов устройств автоматики освещено в статьях [24, 37, 207, 244].

Г. Характерные применения в области связи. Специально посвящены использованию функций Уолша в системах связи следующие публикации. Вопросы, касающиеся упоминавшегося в § 3 использования функций Уолша в радиотехнике при генерировании, передаче и приеме несинусоидальных сигналов, рассмотрены в статье [174], книгах [115, 116] и во многих других статьях. Вопросы эти первоначально считались дискуссионными, в книге [116] даны ответы на 25 возражений, содержащихся лишь в публикациях 1975 г. Последующие публикации показали, что данный способ формирования, передачи и приема радиосигналов получил признание специалистов. В книге [23] подробно рассмотрено использование функций Уолша и их комбинаций при построении многоканальных систем связи (формирование кодовых последовательностей, фильтрация и модуляция функций Уолша, особенности их применения в качестве несущих (поднесущих), оценка перекрестных помех, сравнительная оценка помехоустойчивости при разделении каналов по частоте следования и временном разделении). Вопросы помехозащищенности радиосистем этого вида проанализированы в книге [73] и в статьях [107, 108]. Элементы систем передачи сигналов Уолша по каналам радиосвязи рассмотрены в статьях [216, 173]. Вопросы использования функций Уолша при работе радарных установок освещены в статьях [169, 215]. Применение функций Уолша при мультиплексировании сигналов (при одновременной передаче ряда телефонных сигналов по общему кабелю и в других случаях) описано в статьях . Использование функций Уолша при передаче сигналов в системах связи рассмотрены в статьях [56, 68, 81, 103, 114, 118, 193, 233, 234]. В обзоре применений функций Уолша в системах связи, сделанном в статье [197], указаны 189 источников.

Методы использования функций Уолша при кодировании сигналов освещены в работах [167, 178, 196, 237]. В работе [200] указан способ упрощения алгоритма быстрого преобразования Уолша — Адамара в процессе декодирования кода Рида — Маллера.

Д. Использование преобразований Хаара. Общее представление о функциях и рядах Хаара дают работы [9, 23, 86, 105, 106, 139, 157]. Обзоры различных применений функций Хаара имеются в публикациях [42, 139, 236]. Подходы к вычислению коэффициентов рядов Хаара указаны в работе [84]. Свойства спектров по функциям Хаара рассмотрены в статье [119]. Сведения о быстром преобразовании Хаара и о применениях БПХ для обработки сигналов приведены в работах [36, 98, 231]. Метод быстрого восстановления дискретных данных на основе суммирования коэффициентов Хаара описан в работе [85]. В статье [79] показано, что при применении преобразования Хаара могут быть получены эффективные алгоритмы ускоренного выполнения сверток. Статьи [65, 82] содержат сведения об использовании функций Хаара при обработке случайных сигналов. В работе [4] рассмотрено применение функций Хаара при построении цифровых фильтров, а в статье [84] сравнены ошибки фильтрации сигналов, представленных разложениями в базисе Хаара и в базисе Фурье. Совместно рассмотрено применение функций Хаара и Уолша в статьях [17, 37, 65,109].

Е. Применение функций Уолша и Хаара при анализе и синтезе систем логического действия. Применение преобразования Уолша (а также преобразования Радемахера как "частного его вида) и преобразования Хаара при анализе и синтезе систем логического действия в работах [29, 42, 110, 111, 163, 184, 185, 205, 213, 241]. В работах [40, 42, 52, 60-63, 202, 203] функционирование логических устройств исследовано и с применением обобщенных методов выполнения преобразований, о которых упоминается особо в последних разделах данного обзора. Вопросы использования преобразований Уолша при построении пороговых логических элементов и сетей освещены в работах [25, 219]. Принципы проверки правильности работы систем логического действия, обнаружения и коррекции ошибок рассмотрены в статьях [41, 153, 167, 180,235, 239].

Ж. Обобщенные методы преобразований. Единые методы ортогональных преобразований (при различных подходах к их выполнению) описаны в книгах [77, 88, 89, 100, 157] и в других книгах, упоминавшихся в § 4 и в § 5.

Им посвящен также ряд статей, из числа которых укажем [6, 7, 10, 28, 51, 87]. В статье [11] рассмотрена система обобщенных преобразований на конечной абелевой группе; автор статьи отмечает, что "частными случаями данной системы являются ДПФ, преобразования Уолша, Уолша -Адамара, Уолша — Пзли, теоретико-числовое преобразование, традиционное преобразование Хаара, преобразование по -функциям Хаара". В статье [152] наряду с преобразованием Карунена — Лоэва рассмотрено обобщенное преобразование Уолша, частными случаями которого являются упорядоченное по Адамару преобразование Уолша и преобразование Фурье; указаны алгоритмы быстрого выполнения такого обобщенного преобразования Уолша. Обобщенный метод ортогональных преобразований описан в статье [128]. Различные виды ортогональных преобразований совместно

рассмотрены и сопоставлены в статьях [21, 26, 34, 39, 47, 95, 142]. Методы перехода от одних ортогональных базисов к другим описаны в книгах [8, 23, 70, 139], в других ранее указанных книгах, а также в статьях [19, 27, 32, 33, 48, 58, 80, 97, 109, 122, 123, 151,162]. Формирование синусоид с помощью функций Уолша рассмотрено кроме упоминавшихся книг [18, 139] в статьях [12, 138, 140, 192]. Матричным методам обобщенного представления ортогональных преобразований посвящены упоминавшиеся в § 5 работы [8, 22, 45, 70, 71, 101, 124, 127] и ряд статей [46,58] и другие. Практическое значение разработки этих методов было указано в начальном разделе § 4.