В. Примеры применения аппарата теории функций комплексного переменного.

В этом разделе рассмотрим следующие вопросы. Укажем, как связаны между собой обратные преобразования Фурье и Лапласа. Поясним, что представляет собой абсцисса абсолютной сходимости. Покажем, как применяются лемма Жордана и теорема вычетов для вычисления обратного преобразования Лапласа.

Для возможности выполнения применительно к функции преобразования Фурье необходимо, чтобы было (зто было оговорено в § 2.2; см. (2.10)). Пусть для функции данное требование не соблюдается. Обсудим условия, при которых выполняется аналогичное

требование

для функции

где а — постоянная вещественная величина.

Этого вопроса мы уже касались в § 2.2, рассмотрим его здесь более детально. Будем считать, что удовлетворяют условиям Дирихле и что требование (2.166) выполняется для функции (2.167) при значениях , ограниченных неравенством отах, и не выполняется при или

В этом случае для функции при отах могут быть выполнены преобразования Фурье: прямое

и справедлива формула обращения 1

Подставим в последнюю формулу указанные выше выражения и

Отсюда следует, что

Введем, как делалось и раньше, обозначение . Учтем,что при изменении от до величина меняется от до Примем во внимание и то, что при имеет место равенство Так как по определению представляет собой прямое (двустороннее) преобразование Лапласа для функции уравнение (2.169) может быть приведено к виду

Получена формула (2.62) обратного преобразования Лапласа.

Рассматривая функции не равные нулю лишь при равные нулю при и соответственно имея в виду для одностороннее преобразование Лапласа уточним, что представляют

собой предельные значения , при которых может быть выполнено преобразование Лапласа. В этом случае отах так как с увеличением величины а в в (2.166) уменьшается. Величина же называемая абсциссой абсолютной сходимости, определяется особо для каждой из преобразуемых функций Например, единичному скачку при отвечает так как при любых значениях в (2.167) для данной функции выполняется условие (2.166), а при оно не выполняется. Для функции где условие (2.166) выполняется при Аналогичным образом определяется абсцисса абсолютной сходимости и для других функций

Из формулы обратного преобразования Лапласа следует, что при выполнении его производится интегрирование по вдоль прямой на комплексной плоскости, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстояние . Выражение , получаемое при выполнении данного преобразования, будет одним и тем же, каким бы ни было значение а, лишь бы оно было больше Например, функция определяемая по указанной формуле, не изменится, если интегрирование будет производиться вдоль любой из показанных на рис. 2.21, б прямых, для точек одной из которых абсциссы равны а для точек другой равны

Обратное преобразование Лапласа позволяет находить функцию по ее лапласову изображению Покажем, как выполняется при заданном это преобразование на основе применения теоремы вычетов (2.163) и леммы Жордана.

Считая переменной лишь величину обратимся сначала к следующей функции

Если на плоскости комплексной переменной имеются особые точки функции то они будут особыми точками и для функции так как есть регулярная функция от Рассмотрим контурный интеграл, получаемый при интегрировании по замкнутому контуру изображенному на рис. Согласно теореме вычетов (2.163)

где при от 1 до особые точки в области охваченной контуром С. Пусть (см. рис. 2 21, a) . При этом на основании леммы Жордана интегрирование по контуру может быть заменено интегрированием в пределах от до по прямой, параллельной мнимой оси и составляющей часть контура. Соответственно с этим уравнение (2.171) преобразуется к следующему виду:

Заменяя здесь функцию ее выражением (2.170), получаем

Левая часть уравнения (2.173) представляет собой обратное преобразование Лапласа для искомой функции Следовательно,

есть искомая функция

Правая часть уравнений (2.173) и (2.174) содержит сумму вычетов функции во всех полюсах функции расположенных левее прямой, проходящей через точку о на вещественной оси. Принимая во внимание ранее сказанное о связи между особыми точками функций и учитывая определяемую уравнением (2.170) зависимость между функциями заключаем, что если полюс первой кратности. Если же полюс кратности выше первой, то причем

Уравнение (2.174) используется для определения функции по заданному ее изображению или же по функции Как это делается, проиллюстрируем следующими примерами.

Пусть задана функция Эта функция имеет единственный полюс в точке По формуле (2.164) находим

Так как при имеем то следовательно, формула (2.174) дает Это есть единичный скачок при при изображение было указано в табл. 2.1.

Рассмотрим далее следующий пример. Задана функция Функция имеет единственный полюс в точке и по формуле (2.164)

При этом и согласно формуле Для этой функции указанное выше ее изображение тоже было приведено в табл. 2.1.

Выше были даны простейшие примеры, на которых было показано, как при заданном изображении искомой функции выполняется путем нахождения вычетов функции обратное преобразование Лапласа. Метод этот является общим. Он равно применим и в тех случаях, когда функция имеет полюсы более высокой, чем единица, кратности.

Проиллюстрируем это примером, при решении которого будет применена указанная в § 4 формула (2.94). Однако предварительно приведем в соответствие обозначения, которыми мы пользовались при записи этой формулы, с теми, которые используются нами сейчас. В формуле (2-94) было принято обозначение -для функции внешнего воздействия, которая в рассматриваемом далее примере принимается равной нулю. Для обозначения же искомой функции было тогда принято не Будем пользоваться сейчас этим последним обозначением.

В качестве примера рассмотрим определение функции являющейся решением дифференциального уравнения

при начальных условиях Применяя формулу (2.94, находим лапласово изображение искомой функции

Функция в данном случае имеет в точке полюс кратности два. Вычет функции определяется здесь по формуле (2.165):

Таким образом, решением заданного дифференциального уравнения является Было рассмотрено однородное дифференциальное уравнение. Так же проводится решение и линейных дйфференциальных уравнений с правой частью, наличие которой учитывается при записи лапласова изображения искомой функции как это было показано в § 4.

Указанные ранее выводы существенны как для исследования непрерывных устройств и систем, так и цифровых, которым посвящается гл. III. Приведем здесь и некоторые другие сведения из которые также будут использованы в гл. при изучении цифровых устройств и систем.

С введением в рассмотрение вычета как коэффициента при в ряде Лорана для заданной функции можно на основе теоремы Коши сделать следующий вывод:

Действительно, при имеем имеется единственный полюс в точке как было показано в первом из описанных нами примеров выполнения обратного преобразования Лапласа, а следовательно, данное выражение равно единице. При всех же других значениях к оно равно нулю.

При переходе от одних преобразований к другим соответственно изменяются рассматриваемые комплексные переменные. Покажем, как это отображается на комплексной плоскости.

Приведем следующие примеры. Вернемся к ранее принятым обозначениям величин.

Сделанные выводы, относившиеся до сих пор к непрерывным функциям, еще раз показали, насколько тесно связаны преобразование Фурье

Рис. 2.22 (см. скан)

и преобразование Лапласа, которое, как было ранее указано, можно считать расширенным преобразованием Фурье. При принятии в формуле и соответственно при переходе от выполнения обратного преобразования Лапласа к обратному преобразованию Фурье производится уже интегрирование не по линии, параллельной мнимой оси, а вдоль самой мнимой оси. При принятии имеем Если на плоскости комплексной переменной все полюсы левые, как представлено на рис. 2.21,е, то на плоскости со соответствующие полюсы спектра функции располагаются в верхней полуплоскости, как показано на рис. 2.21,г. Например, при находим, что при имеем

В качестве следующего примера рассмотрим связь между изображениями на комплексной плоскости переменной и переменной z, связанной с соотношениями

Принимая обозначения для вещественной и мнимой частей z, представим эту комплексную величину в виде Координаты точек связаны между собой следующим образом:

Используя для представления полярные координаты (рис. 2.22,с), получим соотношения

где целое число.

Из формул (2.176) следует, что при имеет место Применяя эту и последующие формулы, приходим к тому, что отрезок мнимой оси в плоскости от до переходит, как показано на рис. 2.22,б, в плоскости z в окружность радиуса 1. Каждой точке данного отрезка отвечает определенная точка окружности. При движении же точки -вдоль оси от до соответствующая точка бесконечное количество раз обходит указанную окружность. Из указанных выше формул следут также, что заштрихованная на рис. 2.22, в область плоскости переходит во внутреннюю, тоже заштрихованную область круга с радиусом 1. Таким же образом нетрудно установить, что расположенная правее мнимой оси область плоскости переходит во внешнюю по отношению к кругу радиуса 1 область плоскости z.