В. Свойства КИХ-фильтров, методы их проектирования. Окна, используемые при проектировании КИХ-фильтров.

Имеют в виду физически реализуемые КИХ-фильтры. Передаточная функция КИХ-фильтра имеет нулей и полюсов, находящихся в точке Соответственно, его частотная характеристика

последовательность длины определяется выборками преобразования Фурье, при расчете требуемых характеристик КИХ-фильтра находят коэффициенты его импульсной характеристики или же отсчетов частотной характеристики. При расчете КИХ-фильтров чаще всего ставится обязательным условием обеспечение строго линейной фазовой характеристики. Для того чтобы КИХ-фильтр имел линейную фазовую характеристику, необходимо, чтобы Подтверждение этого дадим несколько позднее.

Так как для заданной на интервале физически реализуемой последовательности ее z-преобразование то соответствующее преобразование Фурье

Следуя изложению данного вопроса в книге [101], ограничимся рассмотрением вещественной последовательности Имеем

где вещественная функция.

Для модуля и фазы выражения преобразования Фурье при имеем

Поясним теперь, как получается ранее указанное условие, при котором импульсная характеристика фильтра обеспечивает строгую линейность его фазовой характеристики. Обычно линейная фазовая характеристика КИХ-фильтра описывается при — уравнением в где а — постоянная величина. Из приведенных выше уравнений следует, что (в ывод этого равенства см. в [101], с. 91-93).

Из того, что данное уравнение имеет вид ряда Фурье, следует, что оно имеет единственное решение при Для другого типа КИХ-фильтров с линейной фазой принято где а имеет ранее указанное значение, а При зтом

Основными методами расчета КИХ-фильтров являются методы, основанные на использовании окон, и методы машинного проектирования, при котором путем последовательных итераций получаются улучшенные характеристики фильтра. Приведем здесь краткие сведения о методах расчета КИХ-фильтров с использованием окон, машинным методам посвятим следующий раздел § 7.

Метод расчета КИХ-фильтров с использованием окон (по-другому — метод взвешивания) основан на следующем. Частотная характеристика цифрового фильтра являющаяся периодической функцией ,

может быть разложена в ряд Фурье

коэффициентами которого являются коэффициенты имнульсной характеристики фильтра

Непосредственному использованию формулы (3.108) при проектировании КИХ-фильтров мешают два обстоятельства: изменяется от до следовательно, последовательность бесконечной длины; так как отсчет начинается от фильтр является физически нереализуемым. Дня реализации КИХ-фильтров делается следующее. Производится усечение бесконечного ряда (3.109): оставляются лишь члены от до

Однако при усечении бесконечного ряда (3.109) в аппроксимируемой частотной характеристике до и после точки разрыва вследствие явления Гиббса, о котором упоминалось еще в гл. II, появляются выбросы и пульсации. С тем чтобы уменьшить их, для управления сходимостью ряда Фурье вместо берется функция

где функция называемая окном, является такой весовой последовательностью конечной длины, что при и при Последовательность затем задерживается так, чтобы она могла быть использована в качестве импульсной характеристики фильтра.

Если является заданной частотной характеристикой, то отвечающее преобразование Фурье определяется как круговая свертка функций где есть преобразование Фурье окна

Характеристика а соответственно и характеристика должны быть такими, чтобы получаемая частотная характеристика аппроксимирующая характеристику достаточно удовлетворительно соответствовала этой последней.

На основании сказанного ранее заключаем, что основная часть расчета КИХ-фильтра методом взвеншвания с помощью окна должна выполняться по следующей схеме:

Затем путем задержки последовательности получается задержанная последовательность, отвечающая физически реализуемому КИХ-фильтру.

В схеме (3.112) вычисления указано, что выполняются ДПФ и ОДПФ. В том и другом случае, как правило, используется метод БПФ. Чаще всего не возникает необходимости в выполнении ДПФ для нахождения на так как для ряда типовых окон заранее известны их частотные характеристики. Обычно частотная характеристика окна при графическом ее изображении имеет центральную часть ("главный лепесток"), который определяется почти вся энергия окна, и боковые части (несколько "боковых лепестков", амплитуда которых с увеличением со чаще всего быстро уменьшается). Принято изображать на графиках изменение величины как функции от так как характеристика симметрична относительно точки показывают лишь ее участок для причем в поле изображения попадает только половина главного лепестка. Дальше будет показано, какой вид имеют характеристики изменения в функции от со величины для типовых окон.

Применяются следующие -точечные окна, для которых принимает в пределах указываемые ниже значения:

прямоугольное окно — окно Хеннинга

окно Хемминга

окно Блэкмана

Из других окон отметим треугольное окно Бартлета характерное тем, что при при

Изображения характеристик преобразования фурье для этих пяти окон при представлены соответственно на позициях от о до рис. 3.15 [85]. По оси ординат на всех пяти графиках отложены величины

Одним из основных вопросов реализации КИХ-фильтров является обеспечение по возможности оптимального соотношения между параметрами главного и боковых лепестков амплитудной частотной характеристики. Кайзером указана формула для расчета универсального семейства окон, для которых характерно то, что при заданной амплитуде пика бокового лепестка обеспечивается достижение максимальной энергии в главном лепестке. В выражении для

Рис. 3.15

универсального семейства окон Кайзера содержится модифицированная функция Бесселя первого рода и нулевого порядка, которая может быть разложена, как показано Кайзером, в степенной ряд. В обобщенную формулу для окон Кайзера входит параметр, меняя который, можно менять соотношение между амплитудой и шириной бокового лепестка.

Для всех окон ширина главного лепестка обратно пропорциональна величине Выбирая параметры окна, стремятся к достижению компромиссного решения, обеспечивающего удовлетворение противоречивых требований: должна быть уменьшена по возможности длина что важно для упрощения расчетов, и вместе с тем уменьшен диапазон частот, занимаемый характеристикой что представляется существенным для повышения точности аппроксимации заданной частотной характеристики.

Резюмируя сказанное выше о расчете КИХ-фильтров методом взвешивания с использованием окна, перечислим еще раз выполняемые действия. Задаются бесконечная последовательность коэффициентов и отвечающая ей частотная характеристика (или согласно определяется по заданной Для выбранного окна известны последовательность и отвечающая ей частотная характеристика (если задана только последовательность характеристика определяется в соответствии с (3.112)). Путем быстрой свертки находится характеристика аппроксимирующая заданную характеристику и по полученной характеристике путем обратного ДПФ, выполняемого на основе алгоритма БПФ, определяется Производится сдвиг этой последовательности в сторону запаздывания так, чтобы фильтр был физически реализуемым.

Окна, о которых здесь было сказано, имеют и другие применения. Например, они используются при гармоническом анализе, проводимом методом дискретного преобразования Фурье [133, 164]. Используется также формирование окон данных во временной области. В последней из указанных статей сравнены окна основных типов, о которых упоминалось выше в этом разделе, и окна других типов: Пзйпола, Парзена, усеченное тейлоровское, окно суммарно-косинусное, окна модифицированных бесселевых функций нулевого и первого порядков. На основе сравнительного анализа характеристик окон указаны подходы к выбору типа окна для решения различных задач фильтрации при условии компромиссного выбора соотношения между шириной основного лепестка передаточной функции цифрового фильтра и величиной боковых ее лепестков.