В. Использование частотных характеристик при изучении переходных процессов.

Рассмотрим систему управления, в которой при входном воздействии в виде единичного скачка (рис. 2.7,а) изменяется с течением времени так, как показано на рис. 2.7, б, или так, как показано на рис. Характеристика переходного процесса может быть монотонной (кривая 1) или же переходный процесс может быть немонотонным (кривая 2). Характеристики такого вида, как показанная на рис. получаются в так называемых статических системах управления, для которых функция неисчезающая, и с течением времени устанавливается значение отличающееся на величину от исходного значения Характеристики, изображенные на рис. 2.7,в, получаются у астатических систем управления, для которых функция исчезающая. Основным показателем качества переходного процесса является время его протекания. За время принимают время, по истечении которого величина отклонения от устанавливающегося значения становится меньшей и далее остается меньшей заданной малой величины При колебательных процессах важным показателем качества является также и величина перерегулирования которая обычно для статических систем выражается в процентах от величиныхвых

Рис. 2.1

Приведенные на рис. 2.7,б и 2.7, в характеристики заранее неизвестны. При анализе и синтезе систем управления возникает необходимость в расчете их или хотя бы на первых порах в косвенной их оценке. Для суждения о качестве переходных процессов в системе управления, будь то разомкнутой или замкнутой, при входном воздействии в виде единичного скачка используется вещественная характеристика Ориентировочное представление о характере переходных процессов можно получить, лишь взглянув на характеристику Эта же характеристика используется и для построения показанных на рис. и 2.7, в кривых переходного процесса.

Суждение о переходном процессе лишь по одному виду характеристики основано на следующем. Можно использовать, если они имеются, эталонные характеристики близким по форме характеристикам соответствуют мало отличающиеся переходные процессы. Если нет эталонных характеристик, то используются указываемые ниже косвенные оценки качества переходного процесса. Величина тем меньше, чем более пологой является характеристика Если все ординаты характеристики положительные, а производная отрицательная и с увеличением со убывает по абсолютной величине, то переходный процесс монотонный. Если имеются такие значения со, при которых по абсолютной величине больше, чем при то переходный процесс немонотонный и имеется перерегулирование. Если для статической системы является невозрастающей функцией частоты то этого достаточно для того, чтобы величина не превышала 18%, как это доказывается в курсах теории автоматического регулирования. Применяются также и другие косвенные признаки, позволяющие судить по виду вещественной частотной характеристики системы о качестве переходного процесса.

Далее рассмотрим методы построения переходного процесса по заданной вещественной характеристике. Сначала покажем, как производится построение в тех случаях, когда функция исчезающая (рис. 2.7,г) и когда задана характеристика . Будем считать, чтохвх при При этом используется для расчета формула (2.30), которая

с учетом принятых здесь обозначений имеет для функциидсвых следующий вид:

Пусть заданная вещественная частотная характеристика такая, как показано на рис.

Рассмотрим диапазон изменения частоты от до значения , при котором становится и далее остается с увеличением со меньше, чем где значение при Весь этот диапазон изменения разделяется на малые участки, как показано на рис. 2.8,б, и на каждом участке значение считается постоянным, равным . При этом интеграл (2.75) заменяется суммой интегралов

или

Задаются различные значения дня каждого из которых подсчитывается по формуле и по полученным точкам строится характеристика переходного процесса.

Рис. 2.8

Другой способ построения основан на том, что характеристика приближенно заменяется ломаной (состоящей из отрезков прямых) линией, как показано на рис. 2.8, в, а площадь, ограниченная данной линией и осями координат, представляется в виде суммы площадей трапеций, как представлено на рис. 2.8, г (треугольники рассматриваются как частный случай трапеций). Для каждой трапеции принимается во внимание ее площадь А и учитываются значения частоты . С учетом значений нодсчитываются величины Для построения переходного процесса используется формула

причем суммирование производится по числу трапеций, полученных при указанной аппроксимации заданной характеристики На выводе формулы (2.77) не будем останавливаться. Читателя, который пожелает с ним познакомиться, отошлем к книге [5] (см. в ней с. 278—282). Указанное справедливо при различных входных воздействиях когда а соответственно и является исчезающей функцией.

Рассмотрим теперь построение переходного процесса в случае, когда функция неисчезающая. Пусть, например, задана характеристика показанная сплошной линией на рис. 2.9, а, причем

Ординаты заданной характеристики можно представить как сумму ординат показанной на рис. характеристики и изображенной на рис. 2.9,в характеристики . В силу действия принципа суперпозиции интересующий нас переходный процесс в линейном элементе или в линейной системе управления представляется как сумма переходных процессов, один из которых вызывается входным воздействием а второй — входным воздействием Последнее есть функция исчезающая, а построение этой составляющей переходного процесса производится так, как было указано выше.

Остается показать, как производится построение переходного процесса, вызываемого воздействием в виде единичного скачка (коэффициент масштаба С учитывается тем, что на С умножаются все ординаты переходного процесса вызываемого единичным скачком). С тем чтобы сделать это, обратимся к уравнению (2.74). Так как спектральная плотность входного воздействия представляющего собой единичный скачок, то полностью определяется в данном случае амплитудно-фазовой частотной характеристикой

Рис. 2.9

Рассматриваемая составляющая переходного процесса строится по характеристике вещественной частотной характеристике, отвечающей амплитудно-фазовой частотной характеристике Используется формула

Построение составляющей переходного процесса производится при этом следующим образом. Характеристика заменяется ломаной прямой, так же как это делалось при применении второго из описанных нами способов построения по характеристике переходного процесса в случае исчезающего входного воздействия. Так же получается ряд трапецеидальных характеристик. Однако дальнейший ход построения кривой здесь уже другой, что связано с видом формулы (2.78). Учитывается, что каждая трапецеидальная характеристика полностью определяется заданием трех величин: (рис. 2.9, г). Или же, что удобнее, вводят при рассмотрении каждой трапеции так же определяющие ее величины Каждая такая трапеция сравнивается с единичной трапецией, для которой тем же является значение k. Единичной называют трапецию, для которой Для единичных трапеций с различными к раз и навсегда построены переходные процессы. Принято обозначение для переходного процесса, соответствующего единичной трапеции с данным к В курсах теории автоматического управления приведены таблицы, в которых указаны для ряда значений к величины при различных Для каждого значения определяется отвечающее исходной трапеции время и определяется соответствующая величина По полученным точкам строится кривая для рассматриваемой трапеции. Таким же образом строятся при указанном изменении масштаба характеристики переходных процессов, отвечающих всем другим трапециям, построенных при аппроксимации характеристики рядом трапецеидальных характеристик. Далее берется ряд значений при каждом из которых определяется ордината точки характеристики составляющей истинного переходного процесса (составляющей, отвечающей входному воздействию в виде умноженного на С единственного скачка). Она находится как умноженная на С алгебраическая сумма ординат указанных кривых при где число аппроксимирующих трапеций.

После того как построены характеристики обеих составляющих переходного процесса, соответствующих представленным на рис. 2.9, б и 2.9, в входным воздействиям, ординаты этих характеристик алгебраически суммируются и получаются точки искомой кривой переходного процесса

Вывод формулы (2.78) приведен в курсах теории автоматического управления, в которых дано и обоснование описанного здесь метода единичных трапецеидальных характеристик (см., например, с. 283—290 в книге [5]).

Из вышесказанного должно быть ясно, в какой мере эффективно применение амплитудно-фазовых частотных характеристик, а следовательно.

и интегральных преобразований Фурье при исследовании качества переходных процессов в линейных системах автоматического управления.