Б. Передаточные функции и структурные схемы цифровых фильтров.

Соотношение между выходной и входной последовательностями определяется разностным уравнением, передаточная же функция

фильтра — их z-преобразованиями . Общим выражением передаточной функции цифрового фильтра является выражение Прежде чем рассмотреть формы для цифровых фильтров различных типов, сделаем следующее замечание.

Из свойств z-преобразования известно, что, коль скоро z-преобразованием последовательности является -преобразованием последовательности является При получается при получается и т.д. Каждой задержке на отвечает умножение z-преобразования исходной функции на

Это позволяет установить простое соответствие между заданным разностным уравнением и соответствующей передаточной характеристикой цифрового фильтра. Например, разностному уравнению первого порядка отвечает откуда получаем выражение передаточной функции Таким же образом имеем для разностного уравнения второго порядка соответствующее ему уравнение следовательно, здесь общем случае разностного уравнения вида (3.103) передаточная функция цифрового фильтра N

Передаточные функции цифровых фильтров могут быть представлены по-разному. Соответственно с этим могут быть получены различные формы построения фильтров, реализующих заданные функции. Ниже указываются основные формы реализации передаточных функций и приводятся отвечающие им структурные схемы фильтров. Во всех случаях первичным элементом задержки выполняется так, как это было показано выше, операция умножения или на Имея в виду связь между разностными уравнениями и соответствующими им передаточными функциями, на схемах структурной реализации цифровых фильтров обычно применяют смешанные обозначения: в качестве входной и выходной последовательностей указывают соответственно и для каждого же из элементов задержки используют обозначение [30,85,101].

Различные структуры цифровых фильтров получаются в результате следующих преобразований передаточной функции.

Формула (3.104) может быть записана в виде

где

С тем чтобы было более удобным изображение схемы построения соответствующего фильтра, принимают причем разностное уравнение вида (3.102) заменяется системой уравнений

Другой формой представления функции (3.104) является

где Здесь определяется как целая часть от

Возможно также представление функции (3.104) в виде суммы простых дробей

где или а величина определяется так же, как это было указано выше при рассмотрении предшествующего представления функции

Форма реализации цифровых фильтров, передаточные функции которых вида (3.104) или (3.105), называется прямой формой. Соответствующая уравнению (3.104) схема реализации цифрового фильтра изображена на рис. 3.13, а. Схема реализации, отвечающая уравнению (3.105), показана на рис. 3,13,б или в другом виде (при использовании одних и тех же элементов задержки для выполнения функций на рис. 3.13, в. Форма реализации цифровых фильтров, передаточная функция которых представлена в виде (3.106), называется последовательной или каскадной. Схематическое изображение фильтра этого типа дано на рис. 3.13, г. Форма же реализации цифрового фильтра в соответствии с уравнением (3.107) называется параллельной. Схематически она представлена на рис.

При выборе структуры фильтра учитывают требования к точности выполняемых операций и к конструктивной реализации фильтра. Недостатком прямой формы реализации цифрового фильтра является чувствительность фильтра к погрешностям задания коэффициентов в тех случаях, когда полосы расположены близко один от другого или же они находятся вблизи единичной окружности. Недостатком каскадной формы реализации цифрового фильтра является трудность решения вопросов, возникающих при уточнении структуры фильтра: имеются в виду затруднения, возникающие при объединении в пары полюсов и нулей, и необходимость масштабирования связей между отдельными блоками.

Выше были рассмотрены рекурсивные цифровые фильтры, у которых передаточная функция (3.104) имеет нули и полюсы.

Рис. 3.13 (см. скан)

Для нерекурсивных цифровых фильтров (фильтров без полюсов), являющихся КИХ-фильтрами, прямая форма реализации имеет такой вид, как показано на рис. 3.13,е. Цифровые фильтры этого вида называются трансверсальными. Существуют различные варианты построения таких цифровых фильтров. При построении фильтров этого типа чаще всего используется то, что выходная последовательность является сверткой входной последовательности и импульсной характеристики

цифрового фильтра:

Вычисление свертки производится по следующей схеме:

Как указано здесь, основной операцией является операция выполнения ДПФ. При проектировании КИХ-фильтров, как правило, используется быстрая форма реализации ДПФ, т.е. БПФ, описанное в § 5. Там же было показано, как алгоритм БПФ используется для вычисления ОДПФ. Этот метод построения цифровых фильтров называют методом быстрой свертки.

Нерекурсивный КИХ-фильтр заведомо является устойчивым, при введении необходимой конечной задержки обеспечивается и его физическая реализуемость (понятия устойчивости и физической реализуемости были рассмотрены ранее; см. с. 114).

Из сказанного выше можно сделать заключение о том, как используются при проектировании цифровых фильтров z-преобразование и ДПФ. Дополнительные сведения об этом будут приведены в следующих разделах § 7.

Как уже говорилось, по передаточной функции фильтра может бьггь получена и его частотная характеристика. Заканчивая этот раздел, рассмотрим частотные характеристики цифровых фильтров различного назначения. На позициях от до рис. 3.14 показаны соответственно частотные характеристики идеальных фильтров следующих типов: фильтра нижних частот, верхних частот, полосового, режекторного.

Точно воспроизвести частотную характеристику идеального фильтра не представляется возможным. Поэтому в каждом конкретном случае, задавая требуемую характеристику цифрового фильтра, сразу же оговаривают, какие в данном случае считаются допустимыми отклонения от характеристики идеального фильтра.

Допустимые отклонения задаются так, как для фильтра нижних частот указано на рис. 3.14, д. Для этого рисунка, на котором частотная характеристика реального фильтра показана штриховой линией, приняты следующие обозначения: I — полоса пропускания; II — переходная полоса; III — полоса непропускания; частота среза полосы пропускания; час. тота среза полосы непропускания; абсолютная величина ошибки в в полосе пропускания; абсолютная величина ошибки в полосе непропускания.

Рис. 3.14

При заданных значениях могут у различных фильтров различаться по виду участки характеристики в полосе пропускания. То же относится и к виду участков характеристики в полосе непропускания. Один из возможных вариантов частотной характеристики фильтра нижних частот был показан на рис. 3.14, д. На рис. 3.14, е показана частотная характеристика другого вида. Здесь изображена частотная характеристика фильтра, отличающаяся тем, что имеют место, как говорят, равновеликие пульсации.

Сказанное выше относится к КИХ-фильтрам и к БИХ-фильтрам. Далее рассмотрим раздельно свойства и методики проектирования КИХ-фильтров и БИХ-фильтров. Дополним при этом то, что было сказано ранее о применении преобразований Фурье и z-преобразований при построении цифровых фильтров.