Е. Применение при разработке и исследовании линейных устройств и систем управления и связи преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа эффективно используется при решении задач теории линейных систем управления и связи тогда, когда в качестве исходных для исследования задаются дифференциальные уравнения переходных процессов или же задаются передаточные функции элементов системы или системы в целом. О том, что они представляют собой, будет рассказано дальше.

Выделим два вопроса: операторный метод решения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы; применение передаточных функций.

При операторном решении дифференциальных уравнений используются свойства преобразования Лапласа, указанные ранее в § 3. Результат получается следующим образом. На первом этапе решения находится изображение искомого оригинала, на втором этапе по этому изображению определяется оригинал.

Порядок выполнения первого этапа решения рассмотрим сначала на простом примере. Пусть задано следующее дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в инерционном элементе:

Здесь постоянные коэффициенты, заданное внешнее воздействие, искомая выходная величина, начальное значение которой при задано.

Умножая все члены уравнения (2.86) на и производя интегрирование в пределах от до получаем, используя формулы (2.60), (2.63), (2.64), (2.69), алгебраическое уравнение

откуда следует

В правой части уравнения (2.88) имеются два члена, один из которых является функцией а второй — функцией начальных условий.

Аналогичным образом для дифференциального уравнения второго порядка

получаем

откуда следует

где, как и ранее, начальное значение при есть здесь значение при

Таким же образом находится и изображение в случае, когда исходное дифференциальное уравнение порядка:

В этом случае только лишь для получения изображения каждой из производных от и до преобразования производятся с использованием формулы (2.70). Получается здесь уравнение

Соберем все члены уравнения, содержащие начальные условия, произведем приведение подобных относительно степеней членов и примем для суммы всех этих членов обозначение Введем обозначение для многочлена

Искомым изображением функции является

При нулевых начальных условиях и

а при ненулевых начальных условиях, но при

Об общем методе выполнения второго этапа решения, на котором по найденному изображению определяется искомый оригинал, будет сказано в § 7. Пока же укажем, как он выполняется в частном случае, имеющем, однако, существенное значение для рассматриваемой области приложений.

Из табл. 2.1 следует, что для указанных в ней функций их изображения представляются в виде правильной дроби. В результате прямого преобразования в виде правильной дроби получается и изображение всего процесса Изображением является дробь где определяется так, как было указано выше, а

причем во всех практически возможных случаях

На этапе обратного преобразования должно быть решено относительно интегральное уравнение

Будем считать здесь, что алгебраическое уравнение называемое характеристическим, не имеет кратных корней (пример уравнения имеющего кратные корни, будет приведен в § 7). При этом дробь представляется в виде суммы элементарных дробей:

где корни уравнения Согласно общему правилу разложения дроби на элементарные дроби

Таким образом,

Интегральное уравнение

удовлетворяется при принятии т.е. является оригиналом для функции Это было учтено при составлении табл. 2.1.

Так как при каждом данном величина в уравнении (2.99) является постоянной, решение уравнения (2.97) имеет, в силу действия принципа суперпозиции, следующий вид:

Примеры решения дифференциальных уравнений переходных процессов указанным выше методом даны в курсах теории автоматического управления. Приведем здесь лишь один численный пример, который более подробно рассмотрен в книге [51. Если заданы дифференциальное уравнение

начальные условия то

Соответственно с этим

Корнями характеристического уравнения являются Определяя соответствующие каждому из этих корней значения получаем

По формуле (2.100) рассчитьшаются переходные процессы, протекающие в устойчивой линейной системе (определение устойчивости системы было дано в см. с. 51). Предварительно производится проверка на устойчивость. Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. Это прямо следует из уравнения (2.100). В теории автоматического управления, кроме рассмотренного нами в частотного критерия устойчивости, используемого при задании АФЧХ системы, применяется в случаях, когда исходными для исследования являются дифференциальные уравнения, алгебраический критерий устойчивости (критерий Рауса-Гурвица). Он представляет собой правило, пользуясь которым, по соотношениям между коэффициентами характеристического уравнения не решая его, проверяют то, что все корни этого уравнения имеют отрицательную вещественную часть.

Рассмотрим далее следующий вопрос. При исследовании линейных устройств и систем управления и линейных управляющих устройств связи применяются их передаточные функции и передаточные функции их элементов. О передаточных функциях раньше уже упоминалось, укажем теперь, что они собой представляют.

Если имеются динамическая система или отдельный ее элемент, которые находятся под входным воздействием и для которых выходной величиной является то передаточной их функцией называется отношение лапласовых изображений при нулевых начальных условиях:

Например, для инерционного элемента, движение которого описывается дифференциальным уравнением (2.86), получаем при согласно (2.88)

Задание передаточной функции равносильно заданию дифференциального уравнения, связывающего между собой выходную величину и функцию внешнего воздействия. Приравнивая в выражении передаточной функции знаменатель нулю, получаем характеристическое уравнение отвечающее указанному дифференциальному уравнению.

Введение в рассмотрение передаточных функций упрощает анализ динамики сложных систем. Для изображенной на рис. 2.12, а разомкнутой системы, содержащей последовательно соединенные элементы для которых передаточные функции равны соответственно передаточная функция системы определяется как произведение передаточных функций всех элементов:

Для показанной на рис. 2.12, б замкнутой системы передаточная функция получается следующим образом. Сначала предполагается, что система разомкнута, как представлено на рис. 2.12, в, по сечению, показанному на рис. 2.12, б пунктирной линией, и что на вход системы воздействует причем на выходе получается Затем снова переходят к изображенной на рис. замкнутой системе, принимая, что (сущность такого замыкания разомкнутой системы была рассмотрена автором в книге [48]). При этом и получается, что передаточная функция замкнутой системы

где передаточная функция данной системы в разомкнутом состоянии.

Если в качестве выходной величины берется некоторая промежуточная величина относящаяся, как показано на рис. 2.12, г, к сечению между частями системы, для которых передаточные их функции

Рис. 2.12

при разомкнутом их состоянии соответственно равны то передаточная функция замкнутой системы

Наконец, для изображенной на рис. 2.12, д замкнутой системы с внутренней обратной связью сначала записывается выражение передаточной функции для участка системы, обведенного на рисунке пунктирными линиями, и затем оно вводится в общее выражение передаточной функции системы, рассматриваемой уже как одноконтурная.

Покажем, какое занчение имеет использование передаточных функций. Каким бы образом ни была определена передаточная функция системы, коль скоро она известна, изображение выходной величины определяется согласно формуле (2.101) так:

где являются, как и функциями комплексной переменной Вводя обозначение для процесса, служащего оригиналом функции и применяя теорему свертывания (формула (2.67)), получаем следующее выражение для

или

Здесь выясняется и значение введения в рассмотрение внешних воздействий в виде -функции. Если то в силу свойства -функции

т.е. переходный процесс, представляющий в зтом случае импульсную характеристику, полностью определяется передаточной функцией системы. При известной импульсной характеристике рассчитываются по формуле (2.104) характеристики при любых внешних воздействиях. В частности при внешнем воздействии в виде единичного скачка временная характеристика находится как интеграл от импульсной характеристики. Это уже было оговорено раньше, когда в § 2 гл. I впервые упоминалось об импульсной характеристике и о временной характеристике.

При применении преобразования Лапласа для исследования переходных процессов, кроме ранее указанных его свойств, используются еще два его свойства. Это так называемые предельные свойства преобразования Лапласа, которые формулируются (Следующим образом:

и

Формулы (2.107) и (2.108) справедливы при условии, что является дробно-рациональной функцией от и имеют отрицательную вещественную часть все корни знаменателя дроби.

В заключение этого раздела заметим, что во всех случаях, заменяя в выражениях передаточных функций комплексную величину мнимой величиной т.е. принимая получаем выражения соответствующих амплитудно-фазовых частотных характеристик.