§ 6. Условное преобразование Фурье, применение его для определения характеристик системы, подверженной случайным воздействиям

А. Первичные характеристики случайных процессов.

Важное место в теории управления и связи занимают вопросы поведения соответствующих систем и их элементов при случайных воздействиях. При расчете и исследовании подверженных случайным воздействиям систем используются ранее указанные выводы, касающиеся свойств преобразования Фурье и корреляционных функций. Изложению вопроса предпошлем краткие сведения о случайных процессах. Ограничимся упрощенным их рассмотрением. Более строгое определение того, что представляют собой случайные процессы, и более полные сведения об их характеристиках даются в специальной литературе [98,99,107].

Под случайным процессом будем понимать такой процесс, при котором значение х в каждый момент времени не может быть заранее предсказано и свойства которого определяются лишь статистическими его характеристиками. О статистических характеристиках случайных

процессов, к которым относятся, и корреляционные функции, пойдет речь дальше.

Различают случайные процессы стационарные и нестационарные. Рассматриваемые нами стационарные случайные процессы обладают тем свойством, что указываемые далее статистические их характеристики, определенные для достаточно большого интервала времени не изменяются, если взять любой другой, тоже достаточно большой интервал времени смещенный относительно первого. Рассматриваемые стационарные случайные процессы обычно бывают одическими. Это значит, что статистические характеристики случайного процесса, определенные при одной его реализации в течение длительного времени, совпадают со статистическими характеристиками большого количества одновременных реализаций случайного процесса или, как говорят, совпадают статистические характеристики случайного процесса по времени и по множеству. Эргодическое свойство случайных процессов позволяет заменить исследование большого количества однотипных устройств управления или связи исследованием в течение длительного времени одного соответствующего устройства, что обычно намного проще.

Основной первичной статистической характеристикой случайного процесса является характеристика распределения случайной величины х на протяжении длительного интервала времени Она определяется следующим образом. Будем считать, что в течение интервала времени произведена запись случайного процесса и что она имеет такой вид, как показано на рис. 2-17,а. Разделим весь интервал времени на малые интервалы времени Возьмем значения х на границах между этими интервалами. Рассмотрим выделенные дискретные значения х. Пусть на весь интервал времени приходится N определенных таким образом значений случайной величины х.

Рис. 2.17

Проведем, как показано на рис. 2.17,а, горизонтальную линию на расстоянии от оси абсцисс и подсчитаем, сколько имеется значений на всем интервале Пусть их оказывается Изменяя получаем различные и соответственно различные При изменении во всем возможном диапазоне (теоретически от до величина изменяется в пределах от до 1. График функции приведен на рис. на котором величины даны в увеличенном масштабе по сравнению с рис. 2.17,а. Функция называемая функцией распределения случайного процесса, дает наиболее полное представление о нем.

Производная от функции распределения по называется плотностью распределения. Имея в виду, что рассматривается распределение значений случайной величины х, пишут также При определении функции распределения, плотности распределения и других указываемых далее статистических характеристик случайных процессов теоретически интервал времени должен быть неограниченно большим; практически же при обработке исходных данных он всегда является ограниченным, и при этом получают приближенные характеристики или, как говорят, оценки истинных характеристик.

Часто пользуются числовыми характеристиками случайного процесса, к которым относятся так называемые математическое его ожидание х и дисперсия

Плотность распределения является одной из основных характеристик и для непрерывно протекающих процессов.

Математическое ожидание случайного процесса определяется следующим образом. Разобьем весь интервал возможных значений х на малые участки, средние значения х для которых соответственно равны Выясним, сколько значений из N попадает за весь интервал времени на участок со средним значением Определим затем величину или, в другой записи,

При достаточно большом (теоретически неограниченно большом) N величина может рассматриваться как вероятность появления значения величины х. При этом приходим к следующей формуле математического ожидания величины

Дисперсия величина которой дает представление о степени разброса значений случайного процесса относительно х, определяется следующим образом

Подсчитывается она так. Для всех значений х находятся величины и их квадраты и определяется среднее значение случайной величины

Для непрерывных случайных процессов ранее указанная формула математического ожидания представляется в следующем виде:

Используется также (см., например, [5]) среднеквадратическое значение случайного процесса

Наряду с указанными выше характеристиками в теории управления и связи широко используются рассматриваемые в следующем разделе корреляционные функции случайных процессов. Их применение связано с выполнением условного преобразования Фурье.