Б. Системы квантования сигналов. Шумы квантования, их моделирование.

При цифровой обработке информации числа предъявляются с точностью, определяемой количеством разрядов, имеющихся в арифметического устройства ЭВМ. Существенен и способ обработки данных. Если преобразуется в цифровую форму исходно непрерывная информация, то ошибки квантования могут уже получаться в процессе перехода от аналоговых к цифровым величинам. Коротко скажем здесь только об общих принципах квантования (вопросы квантования чисел при аналого-цифровых преобразованиях подробно рассмотрены в книгах [64, 183], аналого-цифровые преобразователи и цифро-аналоговые преобразователи описаны в книгах [20, 62]). При квантовании получаются приближенные значения чисел. Ошибки возникают в связи с конечной разрядностью используемых регистров. Квантование чисел по уровню производится так. Каждое из обрабатываемых чисел, а также и коэффициенты, входящие в выражения преобразований, сравниваются с соответствующими их значениями, отвечающими уровням шкалы делений. Например, при использовании -разрядного АЦП имеется 15 таких уровней. Если для принимаемого значения числа берется ближайший к исходному числу уровень квантования, то процедуру получения приближенного значения называют

округлением. При этом квантованное число может быть больше или меньше исходного. Если же для получения приближенного значения числа берется ближайший к нему меньший уровень, то такую аппроксимацию называют усечением.

Округление или усечение чисел производится не только при указанном выше преобразовании аналоговых сигналов в цифровые, но и при цифровом представлении сигналов, исходно заданных для дискретных моментов времени I или для дискретных значений координат х, у, или или же в случае обработки изображений или при других двумерных или многомерных преобразованиях. При повторяющихся операциях умножения, с которыми приходится встречаться при выполнении БПФ и при других преобразованиях (таких, например, как упоминавшиеся в гл. III итерации), без принятия специальных мер для ограничения числа разрядов могло бы удваиваться число разрядов при каждом умножении. Это приводило бы к переполнению разрядной сетки, при котором вообще нарушается обработка информации. С тем, чтобы этого не произошло, производится масштабирование обрабатываемых чисел. Производится и указанное выше округление или усечение чисел. В дальнейшем ограничимся рассмотрением округления.

При многократно повторяющемся округлении чисел получение квантованных значений числа, каждый раз больших или меньших истинного значения квантуемого числа, можно представить как случайный процесс — как возникновение шума.

При выполнении БПФ и при реализации цифровых фильтров чаше всего предполагается, что величины шума последовательно обрабатываемых сигналов не коррелированы между собой. Иногда, однако, данное предпложение и не оправдывается. Например, это имеет место тогда Да входным сигналом цифрового фильтра является константа. Из-за действия шумов при этом после округления «охраняется постоянное значение квантованного сигнала, тогда как без округления значение его изменялось бы от цикла к циклу обработки информации. В этом случае говорят об эффекте мертвой зоны [64] или о достижении предельного цикла колебаний [183,- 221]. Различают следующие виды шума: шум аналого-цифрового преобразования, некоррелированный шум округления, проявляющийся в виде предельных циклов, коррелированный шум округления.

При разработке и исследовании цифровых устройств, выполняющих БПФ, и при реализации цифровых фильтров важно знать, где и как в системе появляются шумы округления и каким образом они влияют на процессы обработки информации и на ошибки, возникающие при получении конечных результатов преобразования.

Для анализа влияния шумов округления используются методы исследования последовательностей, описанные нами в гл. III. При этом учитывается здесь следующее. Влияние шумов различным образом проявляется при суммировании и умножении чисел. Анализ влияния шумов проводится разными способами при обработке сигналов в системах с фиксированной запятой, с плавающей запятой и с поблочно плавающей запятой. По-разному подходят к исследованию шумов округления в рекурсивных и в нерекурсивных цифровых фильтрах; особо изучаются шумы, возникающие при

квантовании коэффициентов фильтра [183, 221]. Разработаны также методы изучения влияния шумов на точность выполнения БПФ [183].

На рис. 6.1, а в левой его части изображен граф основной операции "бабочка" вычисления БПФ при прореживании по времени, построенный без учета эффектов квантования, а в правой части этого рисунка представлен граф той же операции при использовании статистической модели шума округления, для которого принято обозначение На рис. 6.1, б представлена шумовая модель цифрового фильтра с каскадной формой цепи. Здесь источники шума. При анализе схемы оценивается дисперсия шума на выходе фильтра. Данные анализа шумовых моделей выполнения БПФ и шумовых моделей реализации цифровых фильтров приведены в упомянутых книгах. Представляется важным проведение такого анализа на стадии проектирования и подготовки к выполнению вычислений. Определяется возможное влияние ошибок на конечные результаты вычислений, причем учитывается специфика тех или иных действий.

В некоторых случаях оказывается полезным и применение искусственно создаваемых шумов. Например, представляется в некоторых случаях эффективным добавление небольшого шума на входе цифрового фильтра для того, чтобы не возникали мертвые зоны при выполнении вычислений.

Рис. 6.7. (см. скан)

Результаты, полученные при аналитическом изучении шумовых моделей выполнения БПФ и шумовых моделей реализации цифровых фильтров, согласуются с опытными данными. Разработаны различные методы экспериментального изучения шумов квантования. На рис. 6.1, в приведена схема, иллюстрирующая один из них. На этом рисунке: 1 - входной сигнал; 2 и 3 — одинаковые цифровые фильтры, работа которых исследуется; 4 и 5 — аттенюаторы, значительно ослабляющие поступающие на их входы сигналы; 6 — элемент, производящий вычитание сигналов; 7 — измеряемый шум.

Сравнительные данные о расчетных и экспериментальных характеристиках шумовых моделей представлены на рис. [183]. На первом из этих рисунков показаны характеристики значений выходного отношения сигнал I шум в зависимости от дайны N обрабатываемой последовательности при вычислении БПФ в системе с поблочно плавающей запятой и в системе с фиксированной запятой. Здесь приняты следующие обозначения: 1 — расчетная характеристика; 2 и 3 — опытные точки при округлении и усечении чисел; 4 — данные, относящиеся к системе с поблочно плавающей запятой; 5 — расчетная характеристика для систем с фиксированной запятой. На рис. 6.1, д приведены характеристики зависимости выходного отношения к дисперсий шума и сигнала величины при вычислении БПФ в системе с плавающей запятой. На этом рисунке: 1 и 2 — расчетные характеристики, первая из которых получена при упрощенном анализе, вторая при использовании модифицированного метода анализа:

3 — опытные точки, полученные при округлении чисел по случайному закону; 4 — опытные точки при неслучайном округлении чисел; 5 — аппроксимирующая кривая.

Эти данные относятся к БПФ, выполняемому традиционным способом. Квантование чисел производится и при выполнении БПУ и БПХ, но обработка информации производится при этом иначе в связи с указанным в гл. IV различием между преобразованиями Уолша, Хаара и преобразованием Фурье. Иначе, чем при рассмотренном здесь традиционном БПФ, проявляется эффект конечной разрядности чисел и при быстрых преобразованиях фурье и вычислении сверток, производимых на основе использования теоретико-числовых и полиномиальных методов. О последних было уже сказано в § 9 гл. III. С тем, чтобы отметить их особенности, существенные, если иметь в виду рассматриваемый здесь вопрос, приведем характеристику данного направления, которую дал ему, сравнивая его с традиционным выполнением Лабунец в книге [138]: идеей, позволившей увеличить быстродействие ортогональных преобразований, является применение неклассических арифметик, таких как арифметика поля Галуа или кольца вычетов Эта идея дает возможность воспользоваться спектральным анализом сигналов над новыми арифметиками и построить ортогональные базисы в виде Спектральный анализ сигналов в данных базисах вообще не требует умножений. Поэтому алгоритмы фильтрации сигналов, основанные на этих базисах, — более быстродействующие, чем алгоритмы, основанные на Еще одно преимущество преобразования Фурье — Галуа перед преобразованием Фурье при вычислении свертки заключается в том, что эффекты усечения

и округления, неизбежно ведущие к внутренним шумам, исключаются, так как все вычисления в -арифметике абсолютно точные".

Данное направление получает все большее развитие и в будущем, возможно, станет главенствующим. Однако сейчас, если иметь в виду быстрые преобразования, в подавляющем большинстве случаев при обработке данных с помощью микропроцессоров и ЭВМ используются традиционные БПФ, описанные в § 5 гл. III. Им уделим главное внимание, рассматривая в § 3 этой главы цифровые устройства, выполняющие быстрые ортогональные преобразования. Обратим внимание также и на используемую на практике цифровую реализацию БПУ и БПХ.

Наряду со специальными процессорами, применяемыми для быстрых ортогональных преобразований, широко применяются и цифровые фильтры, о которых у нас говорилось в гл. III и которые были еще раз упомянуты в этом разделе при рассмотрении шумовых моделей.