Б. Функции Уолша.

Для нормированных функций Уолша принято обозначение где номер функции, а находится в интервале Обычно рассматривается множество функций Уолша при где

Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 4.3. Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком имеют в виду максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном представлении числа рангом называют число единиц в двоичном выражении Например, порядок и ранг функции равны соответственно 3 и 2,

Рис. 4.3

Таблица 4.1 (см. скан)

так как двоичным выражением числа 5 является 101 (имеется в виду обычное двоичное кодирование чисел; см. второй столбец табл. 4.1).

Функции Уолша могут быть представлены в виде произведения функций Радемахера. Для первых восьми функций Уолша такое представление их указано в последнем столбце табл. 4.1. Номера функций Радемахера, образующих функции Уолша определяются по номерам последних,

выраженным в двоичном коде Грея. Для чисел и от до 15 их нумерация кодом Грея дана в предпоследнем столбце таблицы. Номера перемножаемых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются единицы, закодированного кодом Грея числа Разряды отсчитываются, начиная с младшего разряда. Так определяются как произведение функций Радемахера функции для любых и.

Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом." Если в обычной двоичной системе счисления число то в коде Грея знак суммирования по модулю два Например, в обычном двоичном коде записывается как 10. Здесь Следовательно, Следовательно, число представляется как 11, что и указано в таблице.

Для формирования функций Уолша может использоваться и то, что произведение любых двух функций Уолша дает некоторую другую функцию Уолша. Если номер одной из исходных функций и номер второй из них, то номер получаемой при их перемножении функции определяется как Проиллюстрируем такое формирование функций Уолша следующим примером. Если (в двоичном коде (в двоичном коде 101), то чему отвечает . То, что, перемножая функции и получаем функцию легко проследить, обратившись к приведенному на рис. 4.3 графику функций

На рис. 4.4 еще раз изображены восемь первых функций Уолша и пунктирными линиями показаны для сравнения тригонометрические функции — первые из числа используемых в качестве базисных при разложении функций в ряд Фурье. В связи со сходством между функциями Уолша и тригонометрическими функциями для первых из них иногда применяют указанные на рисунке обозначения где первая буква указывает на аналогию между данной функцией и отвечающей ей суносоидой или косинусоидой. Значения в первом случае нечетные,

Рис. 4.4

во втором четные. Они отражают величину частости, которую Хармут предложил принимать во внимание, описывая представленные данным способом функции Уолша. Частость определяется по количеству пересечений с линией нулевого уровня (в интервале значений от до 1) характеристики, изображающей функцию Уолша. Если не имеется пересечений, считается, что При четном числе 7? пересечений принимается при нечетном принимается Частость совпадает с частотой соответствующих тригонометрических функций.

Заметим, что функции при не отличаются от соответствующих функций Радемахера:

До сих пор нами рассматривались функции Уолша, заданные в интервале Они могут бьггь заданы и для других интервалов изменения 0. В качестве примера на рис. 4.5,а показаны первые функции Уолша, заданные в интервале Вообще же для ненормированных функций конечные интервалы, на которых они заданы, могут быть любыми. Это же, разумеется, относится и к функциям Первые из них четны относительно и 0, вторые нечетны относительно одной и другой из этих величин. Это иллюстрируется графиками, приведенными на рис. на которых указаны значения для 0, меняющихся в пределах от —3 до +3, и меняющихся в пределах от — 4 до На графике зачернены участки, на которых соответствующая функция принимает значение 1, и не зачернены участки, на которых она принимает значение —1, В источнике [23] оговорено, что на границах между белыми и черными участками берутся значения, отвечающие для функций большей, а для функций меньшей по абсолютному значению из величин и 0. Проводя на каждом из рассматриваемых графиков горизонталь, параллельную оси 0, получим характеристики изменения по соответствующей функции при выбранном значении Если же проводится вертикаль при некотором значении , то, следуя вдоль нее, можно выяснить, как при данном меняется рассматриваемая функция с изменением

На рис. 4.3 и 4.4 были показаны заданные в интервале функции Уолша, упорядоченные по частости. Имея в виду такое упорядочение функций Уолша, говорят, что они упорядочены по Уолшу. Иногда, с тем чтобы подчеркнуть это, будем применять для них вместо указанного выше обозначения обозначения или

Необходимость в упоминании о способе упорядочения функций Уолша возникает в связи с тем, что на практике широко используются также и другие, кроме рассмотренного, виды их упорядочения.

При упорядочении функций Уолша по Пэли они располагаются одна за другой по номерам, которые тоже определяются по двоичным их значениям. Но последние отличаются от указанных ранее для функций, упорядоченных по Уолшу. С тем чтобы пояснить, как связаны между собой нумерации функций Уолша, упорядоченных по Уолшу и по Пэли, обратимся еще раз к табл. 4.1. Переход от указанных в таблице номеров упорядоченных по Уолшу функций к номерам функций, упорядоченных по Пэли, производится следующим образом. Прочитывается указанный в таблице номер упорядоченной по Уолшу функции, закодированный кодом Грея так, как если бы это был обычный двоичный код, и это дает

Рис. 4.5 (см. скан)

номер упорядоченной по Пзли функции. Например, исходному номеру отвечает в коде Грея число 111. В обычном двоичном коде 111 обозначает число 7. Следовательно, в системе упорядоченных по Пзли функций Уолша данная функция располагается под номером Там, где при упорядочении функций по Уолшу был указан номер получаем для этой же упорядоченной по Пэли функции номер так как 100 в коде Грея есть обозначение числа 7, а в обычном двоичном коде —

Таблица 4.2 (см. скан)

обозначение числа 4, и т.д. Получаем соотношение между номерами первых восьми функций Уолша, упорядоченных по Уолшу и по Пзли, указанное в первых двух столбцах табл. 4.2. Номера функций обозначены здесь соответственно буквами (ранее указаны Для самих же упорядоченных по Пзли функций Уолша при задании их в интервале приняты обозначения или или же а для ненормированных переменных величин, например для переменной х (см. § 3), где отвечает указанному выше обозначению Иногда же используются те же обозначения, что и для функций, упорядоченных по Уолшу, но оговаривается, что имеются в виду функции Уолша, упорядоченные по Пзли. Такое упорядочение называют также диадическим.

Так же, как это было показано выше на примере, определяются номера и любых других упорядоченных по Пзли функций Уолша. Переход от кода Грея к обычному двоичному коду производится по следующим правилам. Учитывается количество единиц, находящихся в исходном числе слева от преобразуемого разряда. Единица в старшем разряде остается на своем месте. Для остальных разрядов цифра разряда не изменяется, если в исходном числе количество единиц слева от преобразуемого разряда четное, в противном случае цифра разряда инвертируется. Например, число 5 в коде Грея представляется как 111. При переходе от этого его кодирования к кодированию обычным двоичным кодом сохраняется в старшем разряде. Цифра следующего за ним разряда заменяется на так как слева от него в исходном двоичном числе количество единиц нечетное. Цифра в младшем разряде сохраняется, так как слева от него в числе, закодированном кодом Грея, находится четное количество единиц. Получаем обычное двоичное представление 101 числа 5.

В правом столбце табл. 4.2 указана нумерация функций Уолша при еще одном, также применяемом на практике способе их упорядочения. Это так называемое упорядочение функций Уолша по Адамару или естественное их упорядочение. При этом виде упорядочения для функций Уолша приняты обозначения или Здесь номер функции, упорядоченной по Адамару. На рис. 4.6 показаны первые восемь функций Уолша - Адамара.

От этого упорядочения функций Уолша можно перейти, приняв его за исходное, к упорядочению их по Уолшу. Рассмотрим процедуру такого перехода. Для этого обратимся к табл. 4.3. В левом столбце таблицы указаны номера функций, упорядоченных по Адамару. В следующем столбце

Рис. 4.6

даны обозначения их в обычном двоичном коде. В среднем столбце приведена двоично-инвертированная запись этих обозначений. Записанные таким образом номера рассматриваются так, как если бы они были закодированы кодом Грея. В предпоследнем столбце представлены эквиваленты этих номеров, полученные при кодировании их обычным двоичным кодом. Они дают номера функций Уолша, упорядоченных по Уолшу. Таким образом, получаем Эта нумерация функций и была указана в табл. 4.2.

На предшествующих рисунках были изображены непрерывные функции Уолша. Дискретные функции Уолша получаются из непрерывных при

Таблица 4.3 (см. скан)

отсчете значений последних в соответствующих точках интервала, на котором они заданы. Будем иметь в виду здесь интервал хотя могут быть взяты и другие интервалы. Совокупность дискретных значений функций Уолша представляется в виде матрицы, в каждой строке указывается столько дискретных чисел значений, сколько берется при дискретизации точек на оси в. Для таких матриц при упорядочении функций Уолша по Уолшу, Пэли и Адамару примем соответственно обозначения где 7 - показатель степени в выражении Здесь число рассматриваемых функций Уолша. В верхней части рис. 4.7 показаны матрицы полученные при восьмиточечной дискретизации соответствующих непрерывных функций.

Рис. 4.7 (см. скан)

Функции Уолша (в числе и последние из рассмотренных нами) являются частным случаем функций Адамара. Покажем, как они определяются. Для этого обратимся к матрицам Адамара, к которым относится и матрица приведенная в верхней части рис. 4.7. Для матриц Адамара примем в дальнейшем обозначение Функции, отвечающие этим матрицам, называются функциями Адамара. Матрицы построенные по той же схеме, что и указанная выше матрица получаются рекурсивно для различных следующим образом. Принимается, что и далее для всех четных начиная с получаются матрицы так, как указано внизу на рис. 4.7. Внизу на рис. 4.7 показаны матрицы Там же получается затем матрица это упоминавшаяся матрица показанная наверху на данном рисунке. Так же строятся матрицы и для любых больших четных

Вывод о том, что функции Уолша являются частным случаем функций Адамара, основан на следующем. Указанные выше матрицы представляют собой лишь один из видов матриц Адамара. Вообще же к матрицам Адамара относятся также и другие матрицы с элементами 1 и —1, каждые две строки которых удовлетворяют признаку ортогональности.

Для матриц Адамара характерны такие их свойства: при перестановке строк, перестановке столбцов и при изменении на противоположные знаков всех элементов строки или столбца матрица остается матрицей Адамара. Любая матрица Адамара путем указанных ее преобразований может быть приведена к форме построения, при которой в верхней строке и в левом столбце содержатся только единицы без знака минус. Матрица, полученная путем подстановок вместо в матрицу Адамара некоторой другой матрицы Адамара и подстановки в нее вместо —1 этой другой матрицы, взятой со знаком минус, тоже является матрицей Адамара. Доказательство этих утверждений дано в приложении к книге [23].

Функции Уолша, как бы они ни были упорядочены, обладают свойствами, благодаря которым они получили широкое применение (в какой мере, широко будет показано в § 3 этой главы и в гл. V—VII). Характеризуя эти свойства, Трахтман и В.А. Трахтман в книге [100] отмечают, что "... по функциям Уолша можно производить разложение произвольных сигналов в ряд Уолша — Фурье, и они принимают всего два значения или —1) и поэтому удобны для вычислений на ЦВМ. Сведенные вместе и пронумерованные функции Уолша разных порядков образуют систему. Число функций, включаемых в систему, обычно равно числу отсчетов каждой функции, так как при дискретном спектральном анализе сигналов с отсчетами число спектральных составляющих тоже должно быть равно Отмечено и то, что "функции Уолша являются периодическими с двоично-рациональным периодом, поэтому их задают на интервале где . О спектральном анализе, основанном на использовании базисных функций Уолша, будет сказано в § 2 и в последних разделах § 3.

При каждом виде упорядочения функций Уолша могут использоваться при их исследовании общие для каждого вида упорядочения формулы. В качестве примера укажем формулу, описывающую функции Уолша, упорядоченные по Пэли [42]. Для функций с интервалом задания

аргумента имеем при любых натуральных

где и находятся путем двоичного разложения