§ 2. Функции Уолша и Хаара. Преобразования Уолша и Хаара

А. Сведения о кусочно-постоянных ортогональных функциях. Функции Радемахера.

Дополним то, что было сказано в § 1 о кусочно-постоянных ортогональных функциях. Примером набора таких функций является набор функций, изображенных на рис. 4.1. Они заданы для значений в интервале от до (в интервале в от 0 до 1), Любые две из этих функций взаимно ортогональны: их произведение равно нулю во всем указанном интервале, и имеются участки, для которых каждая из функций, будучи умноженной на саму себя, не равна нулю. Однако эта ограниченная система функций не подходит под определение системы ортогональных базисных функций, которое было дано в § 2 гл. I. К тому же все представленные на рис. 4.1 функции положительны. Для того чтобы кусочно-постоянные базисные ортогональные функции могли использоваться при рассматриваемой нами обработке информации, нужно, чтобы так же, как синусоиды и косинусоиды, они принимали не только положительные, но и отрицательные значения.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Этому требованию удовлетворяют описываемые ниже кусочно-постоянные ортогональные функции Радемахера. Если принять за основу синусоидальные колебания где целое положительное число, и принять для произвольной величины что при при то функции Радемахера

По формуле (4.1) определяются функции Радемахера для Для функция Радемахера Используется также обозначение для функций

На рис. 4.2 показаны функции Радемахера при значениях от до 5. Они показаны при задании в интервале

Вообще же эти функции являются периодическими функциями с периодом 1: Рис. 4.2 показывает, что функции Радемахера с номерами от 2 и выше периодичны также и на меньших интервалах, число которых зависит от величины

Формула (4.1) позволяет сравнить функции Радемахера с синусоидами и дает наглядное представление о процедуре их получения. Для практических целей полезен рекуррентный способ формирования функций Радемахера:

при исходных значениях для для [1/2, 1].

При расчете величины по формуле (4.2) в некоторых случаях оказывается, что в правой части данной формулы значения выходят за пределы интервала . В этих случаях они заменяются их значениями, отнесенными к этому интервалу на основании упомянутого выше свойства периодичности рассматриваемых функций по в с периодом 1.

На рисунке были показаны непрерывные функции Радемахера. Дискретные функции Радемахера, для которых принято обозначение получаются путем выборки их из непрерывных функций при дискретных значениях в в интервале Например, при отсчетах, сделанных для восьми точек этого интервала, получаем значения равные

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Радемахера нечетные. Это препятствует аппроксимации их с помощью четных функций (они образуют, как говорят, неполный набор функций). Поэтому применение их ограниченное.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных функций являются системы функций Уолша и Хаара.