Г. Методы оптимизации при машинном проектировании КИХ-фильтров [85, 101].

Приведем краткие сведения о различных методах машинного проектирования КИХ-фильтров.

Прежде чем дать описание одного из них, называемого методом частотной выборки, заметим, что любой КИХ-фильтр может быть задан коэффициентами импульсной характеристики или коэффициентами этой характеристики, которые находятся как значения z-преобразования импульсной характеристики фильтра в N равноотстоящих точках на окружности единичного радиуса. Действительно, согласно ранее указанному

(см. с. 116), выполняя ДПФ, получаем

а производя ОДПФ, приходим к тому, что

вместе с тем Из этих формул следует, что

Последняя формула используется для проектирования КИХ-фильтров методом частотной выборки [101]: производится дискретизация по частоте заданной непрерывной частотной характеристики в N равноотстоящих точках на единичной окружности и путем интерполирования между соответствующими отсчетами находится искомая частотная характеристика, аппроксимирующая заданную. Для улучшения аппроксимации заданной частотной характеристики используются, однако, отсчеты не для всех N точек на единичной окружности. Некоторые из них считаются независимыми переменными. Машинными методами определяются их значения из условия минимизации задаваемой функции ошибки оптимизации. Например, для фильтра нижних частот за независимые переменные берутся частотные отсчеты в переходной полосе между полосой пропускания и полосой непропускания. Оптимизация этих исходно незаданных частотных отсчетов улучшает характеристики проектируемого фильтра. Используются различные способы оптимизации: способ линейного программирования и другие.

Примеры проектирования фильтров методом частотной выборки приведены в книге [101]. Для фильтра нижних частот в качестве критерия оптимизации взята величина максимума пульсаций в полосе непропускания. Исследованы характеристики узкополосных и широкополосных фильтров. Приведены примеры расчета полосовых фильтров методом частотной выборки.

Другим методом машинного проектирования оптимальных КИХ-фильтров является метод проектирования фильтров с минимаксной ошибкой, также подробно описанный в указанной выше книге. Идея данного метода заключается в том, что минимизируется максимальная ошибка аппроксимации навеем интервале аппроксимации. Получаемое оптимальное решение называется минимаксным. Проектирование КИХ-фильтров с минимаксной ошибкой применяется при создании оптимальных фильтров различных классов: фильтров нижних частот, полосовых и иных фильтров. В частности, этим методом рассчитываются так называемые фильтры нижних частот с максимальной пульсацией или с дополнительной пульсацией. Говоря об иных фильтрах имеем в виду дифференциаторы, преобразователи Гильберта, многополосные фильтры, фильтры с произвольными характеристиками. Частотная характеристика оптимального дифференциатора следующего вида: при где наибольшая частота, на которой должен

работать дифференциатор (частота среза). Идеальная частотная характеристика оптимального преобразователя Гильберта следующего вида: при Здесь нижняя и верхняя частота среза полосы аппроксимации, осуществляемой фильтром этого типа. В указанной ранее книге рассмотрены характеристики нескольких оптимальных широкополосных дифференциаторов, нескольких преобразователей Гильберта и описана методика оптимального проектирования многополосных фильтров.

Разработаны методы расчета оптимальных КИХ-фильтров, которыми предусматривается не только аппроксимация заданных частотных характеристик (это имелось лишь в виду при описании нами ранее рассмотренных способов аппроксимации), но вводятся одновременно ограничения и во временной, и в частотной областях. Примером того, когда оказывается нужным так подходить к проектированию КИХ-фильтра, является случай проектирования фильтра нижних частот из условия ограничения выброса или пульсаций переходной характеристики фильтра при сохранении достаточно приемлемой частотной его характеристики. Компромиссное решение находится путем оптимизации характеристик фильтра методом линейного программирования.

Одним из принятых методов оптимизации частотных характеристик при машинном проектировании КИХ-фильтров является так называемый метод аппроксимации с равновеликими пульсациями. Рассчитываемая этим методом частотная характеристика фильтра нижних частот была показана нами на рис. 3.13. е. Для КИХ-фильтра с нулевой фазой и частотной характеристикой вида основными параметрами фильтра являются . В книге [85] даны ссылки на работы, авторами которых оптимизация проводилась таким образом, что задавались постоянные и варьировались и и на работу, при выполнении которой задавались постоянные и и варьировались . В первом случае при заданном значении оказывается возможным получить в результате оптимизации самую узкую переходную полосу . Вместе с тем аппроксимация с равновеликими пульсациями позволяет получать при заданных и минимальные значения