Д. Свойства БИХ-фильтров. Методы машинного проектирования оптимальных БИХ-фильтров.

Для того чтобы цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр) был физически реализуемым и устойчивым, импульсная характеристика должна удовлетворять условиям при -преобразование импульсной характеристики БИХ-фильтра в соответствии с (3.104) представляется в виде

где хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

При расчете БИХ-фильтров рассматриваются амплитудная и фазовая характеристики. Рассматриваются три вида характеристик.

Одной из них является квадрат амплитудной характеристики Данной характеристикой определяется расположение полюсов передаточной функции находящихся на плоскости z внутри окружности единичного радиуса. Нули функции могут быть расположены различным образом, во многих случаях задают их так, чтобы они тоже находились на z-плоскости внутри окружности единичного радиуса или же находились на зтой окружности. При этом получаются фильтры, называемые минимально-фазовыми.

Другой из основных характеристик ИХ-фильтров является фазовая характеристика

которая может быть комплексной функцией от со. В общем случае БИХ-фильтры, в отличие от КИХ-фильтров, имеют нелинейную фазовую характеристику.

Третьей основной характеристикой БИХ-фильтров является так называемая характеристика групповой задержки по которой судят о зависимости средней величины задержки в фильтре от частоты

Задачей расчета БИХ-фильтров является определение коэффициентов при которых получаемые импульсная и частотная характеристики достаточно удовлетворительно аппроксимируют соответствующие заданные характеристики.

Используются три вида методов расчета БИХ-фильтров: методы, основанные на дискретизации характеристик аналогового фильтра, которые отвечают поставленным требованиям; прямые методы расчета, основанные на том, что непосредственно находится расположение полюсов и нулей в z-плоскости, обеспечивающих приемлемое протекание заданных характеристик; машинные методы определения расположения полюсов и нулей в z-плоскости, при которых оптимизируются какие-либо из заданных характеристик БИХ-фильтра.

При применении первых из указанных методов учитываются данные, ранее полученные при создании аналоговых фильтров соответствующего типа. Хорошо разработаны методы проектирования аналоговых фильтров нижних и верхних частот, а также полосовых и режекторных аналоговых фильтров. Для получения параметров соответствующего цифрового фильтра переходят от передаточной функции где преобразования Лапласа выходного и входного сигналов, к передаточной функции цифрового фильтра

Преобразование производится так, чтобы сохранялись существенные свойства частотной характеристики фильтра. Мнимая ось в -плоскости преобразуется в окружность единичного радиуса в z-плоскости так, как это было указано в конце § 7. гл. II. z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра связано с преобразованием принимаемого за прототип аналогового фильтра (имеется виду, что где — период дискретизации) соотношением

а соответствующие частотные характеристики связаны между собой следующим образом:

Данный метод проектирования, как и другие далее рассматриваемые, подробно освещен в книгах [21, 85, 101].

Различают несколько методов расчета параметров цифровых БИХ-фильт-ров на основе данных, относящихся к соответствующим аналоговым бильтрам. Один из них, так называемый метод отображения дифференциалов, заключается в том, что дискретизация характеристик аналогового бильтра производится путем замены дифференциалов в описывающем работу фильтра дифференциальном уравнении конечными разностями. При этом исходное дифференциальное уравнение заменяется приближенно представляющим его разностным уравнением. Другой из применяемых методов, который называют методом инвариантного преобразования импульсной характеристики или методом стандартного z-преобразования, основан на том, что дискретизованная импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа используется при формировании импульсной характеристики проектируемого цифрового БИХ-фильтра. Соответствующим образом преобразуются и частотные характеристики. Применяется также метод дискретизации характеристик аналоговых фильтров-прототипов, названный согласованным z-преобразованием, при котором полюсы и нули непосредственно отображаются из р-плоскости в z-плоскость. Цифровые БИХ-фильтры нижних частот, получаемые указанными выше методами, называют так же, как и соответствующие, обладающие различными свойствами, аналоговые фильтры-прототипы: это фильтры Баттер-ворта, Бесселя, Чебышева (типов I и II), эллиптические фильтры или фильтры Каузра,

Применяются также два метода проектирования на основе использования характеристик аналоговых фильтров-прототипов следующих цифровых БИХ-фильтров: модифицированных цифровых фильтров нижних частот и фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров высоких частот. Первый из этих методов основан на том, что сначала аналоговый фильтр-прототип преобразуется в другой аналоговый фильтр, отвечающий по своим функциям требуемому цифровому фильтру, и затем путем дискретизации его характеристик получается цифровой БИХ-фильтр с заданными характеристиками. Другой метод основан на том, что в первую очередь производится дискретизация характеристик выбранного за прототип исходного аналогового фильтра, а уже затем путем преобразования полосы частот получается цифровой БИХ-фильтр с заданными (Характеристиками. Разработаны способы преобразований, позволяющие относительно просто преобразовывать частотную характеристику фильтра нижних частот с заданной частотой среза в характеристику фильтра нижних частот с другой частотой среза, в частотные характеристики фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров [101].

Существуют два способа прямого расчета цифровых БИХ-фильтров, основанных, как указывалось, на непосредственном нахождении расположения полюсов и нулей в z-плоскости, при которых получаются заданные

характеристики фильтра. При судном из них, реализация которого является относительно сложной, проводится по заданным частотным характеристикам (задается квадрат амплитудной частотной характеристики фильтра). При другом способе производится расчет фильтров по заданным их импульсным характеристикам во временной области.

Представляют интерес машинные методы оптимизации характеристик БИХ-фильтров, позволяющие аппроксимировать частотные характеристики произвольного вида. Одним из них является предложенный К. Штейглицем метод расчета ИХ-фильтра из условия минимизации среднеквадратической ошибки в частотной области. Искомая частотная характеристика Определяется для дискретного ряда частот при Среднеквадратическая ошибка определяется для зтих частот следующим образом:

Разработана методика расчета данным методом цифрового фильтра при каскадной форме его представления. Основанием для выбора зтой формы представления является то, что при ней обеспечивается относительно малая чувствительность характеристик фильтра к точности определения коэффициентов и оказывается более простой процедура расчета по сравнению с тем, что было бы при других формах представления цифрового фильтра. В данном случае передаточная функция фильтра следующего вида:

Ошибка выражение которой было приведено выше, представляется как функция параметров Определяются значения этих параметров, при которых минимизируется величина Для этого находятся частные производные от по каждому из указанных выше параметров. Они приравниваются нулю, причем получается уравнений с неизвестными. Из уравнения получается простое выражение величины . В результате указанного приравнивания нулю остальных частных производных получается нелинейных уравнений. При машинном решении всей этой системы уравнений используются известные алгоритмы оптимизации. При таком машинном проектировании БИХ-фильтра учитывается лишь амплитудная его характеристика.

Существенны следующие замечания, касающиеся данного метода оптимизации характеристик фильтра. В некоторых случаях может быть так, что полюсы и нули членов второго порядка, входящих в приведенное выше выражение окажутся за пределами круга единичного радиуса; при этом фильтр становится неустойчивым. При указанной процедуре оптимизации задаются ограничения на расположение нулей и полюсов, производится конечная проверка каждого множителя второго порядка, а в тех случаях, когда полюс или нуль оказывается за окружностью единичного радиуса, берется его зеркальное отображение. При этом амплитудная характеристика не изменяется.

Разработаны и другие методы машинного проектирования цифровых фильтров, которые описаны в упоминавшихся книгах и в других книгах

и статьях, обзор которых приводится в § 9. Машинные методы проектирования цифровых фильтров являются эффективными методами реализации в рассматриваемой области САПР - систем автоматического проектирования, выполняемого ЭВМ.