В. Свойства корреляционной и ковариационной функций случайной последовательности, z-преобразование этих функций.

При исследовании вещественных стационарных случайных процессов для которых функции автокорреляционная, авто ковариационная, взаимно корреляционная, взаимно ковариационная соответственно равны

используются следующие свойства этих функций:

Используются также следующие свойства рассматриваемых функций:

На использовании указанных выше свойств корреляционной и ковариационной последовательностей основано представление их с помощью z-преобразования. Если являются соответственно z-преобразованиями то необходимым условием существования служит соблюдение равенств и причем

В существенных для области управления и связи приложениях теории дискретных случайных процессов используются указываемые ниже свойства z-преобразования рассматриваемых функций. Они следуют из описанных ранее в этом разделе свойств корреляционной и ковариационной функций. Имеем

В первом из этих выражений С есть замкнутый контур в области сходимости Из двух других выражений следует, что область сходимости вида и так как то в области сходимости находится единичная окружность и, следовательно, Отсюда следует далее, что

Функцию называют спектром плотности мощности или спектром мощности, а также энергетическим спектром. Для спектра

плотности мощности имеем Под взаимным спектром плотности мощности имеют в виду причем

Наряду с z-преобразованиями автокорреляционной и автоковариационной функций используются их преобразования Фурье. При эти функции не отличаются одна от другой, равны и их преобразования Фурье. Аналогичными являются и выводы, относящиеся к преобразованиям Фурье взаимно корреляционной и взаимно ковариационной функций при и