Б. Двумерные ДПФ и z-преобразования.

Сначала рассмотрим общие характеристики двумерных последовательностей. Будем пользоваться принятыми в гл. III обозначениями последовательностей и выполняемых с ними действий. Произведем лишь следующую замену. Так как в было взято обозначение х для одной из переменных величин, от которых зависит представляемая функция, для последней сохраним введенное в обозначение буквой По тем же соображениям заменим далее обозначение у на То, что будет сказано о двумерных последовательностях, является основой и для суждения о характеристиках трехмерных последовательностей или последовательностей еще более высокого ранга. Практическое значение имеют преобразование двумерных последовательностей, а иногда и трехмерных.

К вопросу о двумерных последовательностях и системах относится следующее [88] - Двумерная дискретная функция задается для точек плоскости с координатами тип. Используются понятия: двумерного единичного импульса равного по определению при и равного 1 при двумерной единичной ступенчатой последовательности равной 1 при (в первом квадранте плоскости и равной при других значениях двумерной экспоненциальной последовательности Важным свойством функций и является то, что, как и они могут быть представлены в виде произведения соответствующих одномерных функций, одна из которых является функцией и другая — функцией

Формулами прямого и обратного двумерного ДПФ функции являются соответственно

и

В этих формулах: количества точек отсчета функции вдоль оси и вдоль оси равняется 1 при и равняется не удовлетворяют этим условиям.

Так как то формула (5.26) может быть приведена к виду

где

При этом разделены операции суммирования по и по и вычисление двумерного ДПФ сведено к последовательному вычислению одномерных ДПФ. Согласно формулам (5.28) и (5.29) первая сумма умножается на вторая — на Указанное выше разделение функции может быть произведено и в другом порядке. Сначала может быть выделена функция вида (5.29), но при суммировании по и умножении суммы на с тем, что полученное выражение этой функции войдет в формулу вида (5.28), согласно которой будет выполнено, однако, суммирование по с последующим умножением данной суммы на Аналогичным образом в том или другом порядке может быть преобразована и формула (5.27).

Вывод указанных выше формул двумерного ДПФ аналогичен описанному в гл. III выводу формул одномерного ДПФ. Исходными здесь являются представления о двумерных дискретных рядах Фурье для периодической функции с периодом по индексу и периодом N по индексу Так же, как и при рассмотренном в гл. III одномерном преобразовании, переход от ДРФ к ДПФ производится выделением по одному из указанных периодов.

При выводе формул двумерных а также и при других выводах, с которыми связано решение задач обработки изображений, используются следующие зависимости, полученные для двумерных последовательностей [88]. Двумерная последовательность может быть представлена в виде

Для двумерной линейной инвариантной к сдвигу системы, осуществляющей преобразование имеет место

или, в другой записи,

где есть отклик системы на входное воздействие Последнее уравнение может быть написано также в виде

Это есть выражение двумерной свертки. При получается выражение частотой характеристики двумерной системы

Двумерное -преобразование последовательности определяется следующим образом:

где комплексные переменные. При представлении их как рассматриваемая формула приводится к виду

Отсюда следует, что двумерное z-преобразование функции равно двумерному преобразованию функции умноженному на экспоненциальную последовательность Двумерное ДПФ не отличается от двумерного z-преобразования при т.е. при Это заключение тоже аналогично тому, которое было сделано в гл. III при рассмотрении одномерных преобразований. Разработана методика выполнения обратного двумерного z-преобразования и изучены свойства сходимости двумерных z-преобразований [88]. Разработаны методы выполнения двумерных, трехмерных и многомерных преобразований Хартли (см. источники [11,31] в дополнительном списке литературы).