§ 8. Случайные последовательности. Использование БПФ при оценке спектра мощности

А. Случайные дискретные процессы, задачи их исследования.

Для ряда рассматриваемых далее приложений важны результаты изучения случайных последовательностей сигналов. Говоря о случайной последовательности, имеем в виду то, что величина отсчета, относящегося к каждой из точек последовательности, является случайной. Уже рассматривая N отдельных значений случайной величины х при описании в § 6 гл. II характеристик непрерывного случайного процесса, мы по существу имели дело со случайной дискретной последовательностью. Все, что является общим в трактовке понятий случайного непрерывного и случайного дискретного процессов, использовано при разработке описываемых далее методов исследования случайных последовательностей. Расширим сведения о случайных процессах, приведенные в § 6 гл. II. Примем при этом во внимание особенности изучения дискретных случайных процессов. Ограничимся конспективным изложением данного вопроса, более детально освещенного в источниках, на которые будут в дальнейшем сделаны ссылки. В основном будут использованы сведения, содержащиеся в книгах [85, 101].

Главное, с чем приходится считаться при изучении описываемых процессов, это то, что для их исследования обычно не может быть непосредственно использован метод z-преобразования. Это связано с тем, что рассматриваемые далее сигналы не обладают конечной энергией. С тем же, чтобы сходилось z-преобразование последовательности, она должна иметь конечную энергию. Или же должно быть возможным ее умножение на экспоненциальную последовательность так, чтобы произведение обладало конечной энергией. Условие конечности энергии последовательности необходимо и для того, чтобы последовательность могла быть представлена в виде ряда Фурье и могло быть выполнено дискретное преобразование Фурье. Между тем для рассматриваемых случайных сигналов обычно неосуществим прямой подход, принятый в предшествующих разделах гл. III, когда бесконечная последовательность трактовалась как периодическая функция и выделялся лишь один ее период, энергия которого

конечна, причем оказывалось возможным представление последовательности в виде дискретного рада Фурье и выполнение ДПФ.

Примером случайных дискретных сигналов, не обладающих конечной энергией, которые не могут быть представлены и как периодические, являются многие сигналы, передаваемые по линиям связи, в частности речевые сигналы. К их числу относятся и шумы, возникающие при работе устройств и систем автоматического управления и связи. Изучение соответствующих случайных последовательностей имеет большое значение, так как они могут рассматриваться как модели широкого класса сигналов с бесконечной энергией.

Исследование случайных последовательностей проводится специальными методами, сведения о которых будут приведены в следующих разделах этого параграфа. Важные для практических приложений свойства таких последовательностей во многих случаях могут быть выражены с помощью обладающих конечной энергией автокорреляционной последовательности и автоковариационной последовательности. Что представляет собой автоковариационная последовательность, указывается ниже в п. Б. Автокорреляционная и автоковариационная последовательности часто являются апериодическими последовательностями, затухающими при больших величинах смещения, и тогда для них возможно выполнение z-преобразования и преобразования фурье. Последнее имеет большое значение для исследования прохождения случайных дискретных сигналов в линейных системах. Благодаря применению БПФ достигается высокая эффективность проводимых расчетов.

Возникает необходимость в изучении случайных последовательностей различного вида, в том числе нестационарных или стационарных, но представляющих незргодический случайный процесс. Однако в своем большинстве случайные процессы, с которыми приходится встречаться в области управления и связи, стационарные эргодические.

Некоторые случайные последовательности не могут быть отображены простыми математическими моделями. Вместе с тем для практических приложений представляют интерес и характеристики простейших случайных процессов. Одной из характерных моделей простейшего стационарного случайного процесса, свойства которого рассматриваются далее в качестве примера, является процесс Бернулли: для последовательности отсчетов х, имеющей неограниченную длительность считается, что рассматриваемая величина х принимает случайные значения или —1 при вероятности появления первого из них и при вероятности появления второго из них. Говоря о стационарности такого случайного процесса, имеем в виду сказанное в § 6 гл. II о временной инвариантности распределения вероятностей, которая здесь сводится к тому, что величина одна и та же при определении ее на основании наблюдений, выполняемых на протяжении различных, но достаточно длительных интервалов времени.

Для случайных процессов понятие стационарности процесса связано обычно с выполнением условия временной инвариантности характеристик распределения и с неизменностью среднего значения процесса. Приходится встречаться и с такими случайными процессами, для которых первое из указанных условий не выполняется, и с течением времени характеристика распределения случайного процесса изменяется, но среднее

значение процесса при этом остается неизменным и не меняется зависимость от него автокорреляционной функции процесса. О таких случайных процессах говорят, что они не являются стационарными в строгом смысле; называют их также стационарными в широком смысле.

При создании методов расчета и исследования дискретных случайных процессов специалистами ставилась задача дальнейшего развития ранее разрабатывавшихся методов изучения непрерывных случайных процессов при принятии во внимание особенностей случайных последовательностей и с учетом возможности использования для Их исследования (при указываемых далее оговорках) высокоэффективной процедуры БПФ. Цифровые методы расчета, реализуемые с помощью быстродействующих ЭВМ, дают возможность исследовать при необходимости вопросы стационарности и эргодичности случайных процессов.

Среди задач изучения случайных последовательностей одни из основных, как это следует из ранее сказанного, задачи изучения свойств корреляционных и ковариационных функций последовательностей, определения z-преобразований и преобразований Фурье этих функций. К числу главных вопросов, касающихся исследования характеристик случайных последовательностей, относятся такие вопросы: определение оценок спектра плотности мощности (или, по-другому, просто спектра мощности, или энергетического спектра) случайной последовательности; характеристики передачи последовательностей случайных сигналов в линейных системах; связь между спектрами мощности сигналов на входе и на выходе системы и частотными характеристиками системы. Подходы к решению этих вопросов указаны в следующих разделах этого параграфа.

Здесь же предварительно отметим следующее. В § 6 гл. II были указаны обозначения величин, характеризующих случайные процессы, принятые в книгах по теории автоматического управления. В литературе, посвященной цифровой обработке информации, и в книгах по теории связи чаще всего используются другие их обозначения. Кроме того, ранее мы ограничились только рассмотрением стационарных эргодических случайных процессов. В дальнейшем оговариваются и более общие условия протекания случайного процесса. Имея в виду общий случай обработки и передачи стохастических сигналов в системах управления и связи, далее будем пользоваться следующими обозначениями: х - случайная величина, определяемая с учетом того, что для семейства таких величин нестационарном или незргодическом процессе имеет место множество функций распределения, зависящих от индекса выборочная последовательность; значение фиксируемое при определении функции распределения вероятностей этой величины. Функция распределения вероятностей случайной величины представляемая в виде указывает на вероятность того, что Для математического ожидания величин средних по множеству, или иначе — по ансамблю, используется обозначение или При эргодическом процессе где оператор среднего значения по ансамблю, оператор среднего значения по времени ("временного среднего"). Для эргодического процесса приписка в индексе для не имеет смысла и математическое ожидание случайной неличины обозначается как или (в гл. II это было Для автокорреляционной и взаимно

корреляционной функций, рассматривая случайные процессы, примем обозначения и при

Б. Характеристики случайных последовательностей. Следуя порядку изложения рассматриваемых вопросов в книге [85], сравним указываемые характеристики для непрерывных случайных процессов и для случайных последовательностей.

Для принимающих непрерывный ряд значений, функция плотнбсти вероятности (дифференциальная функция распределения вероятности) определяется как их и соответственно интегральная функция распределения Для квантованных случайных величин, таких, например, как случайная величина Бернулли, за вероятностную меру принимается вероятность При этом распределение вероятности представляющее собой вероятность того, что определяется как и

Функция совместного распределения характеризует взаимную зависимость двух случайных величин Ею определяется вероятность того, что <Тогда как для непрерывных случайных величин вводится в рассмотрение совместная плотность вероятности

для квантованных случайных величин совместная вероятностная мера просто определяется как вероятность того, что Для статистически независимых случайных величин

Формальным выражением стационарности случайного процесса является то, что

Математическое ожидание (среднее значение) определяется так, как было указано в гл. II. Для нестационарного случайного процесса величина эта является функцией от При непрерывном процессе Для однозначной функции величины при непрерывном случайном процессе а для квантованных дискретных случайных величин

Здесь производится суммирование по всем возможным значениям х.

Рассматривая далее и другие средние величины, будем иметь в виду непрерывное распределение вероятностей при том, что выражения соответствующих величин для квантованных случайных процессов могут быть получены так же, как это было при записи выражения (3.114) для математического ожидания функции

Математическое ожидание функции двух случайных величин х и у определяется следующим образом:

Совместная плотность вероятности случайных величин приведенная в подынтегральном выражении, находится так же, как это было указано раньше для случайных величин

Для средних значений случайных величин справедливы следующие соотношения: где а — постоянный коэффициент, кроме того, для некоррелированных случайных величин Для статистически независимых случайных величин

Характерными средними величинами являются средний квадрат или, по-другому, средняя мощность случайной величины

и дисперсия

Другими средними величинами, широко используемыми при разработке и исследовании цифровых систем управления и связи, являются автокорреляционная последовательность

и автоковариационная последовательность

В этих выражениях знаком обозначена величина, комплексно сопряженная с исходной величиной.

Для двух случайных процессов их взаимно корреляционная последовательность

и функция взаимной ковариавди

Если ввести обозначение и принять то для стационарного случайного процесса

Рассмотрим в этом разделе еще два вопроса: приведем пример описания дискретного случайного процесса с помощью средних величин; сделаем замечания, касающиеся определения среднего по времени (временного среднего) значения случайного процесса.

В качестве примера рассматривается упоминавшийся процесс Бернулли, являющийся стационарным случайным процессом. Можно представить для этого процесса распределение вероятности случайной величины и соответствующую вероятностную меру как показано на рис. Для данного процесса математическое ожидание средний квадрат дисперсия Так как при рассматриваемом процессе случайные величины статистически независимы, то при при При имеем Здесь сигналы в последовательности некоррелированы; имеет место случайный процесс типа белого шума.

Среднее по времени, или иначе — временное среднее, значение случайного процесса определяется следующим образом:

Средняя временная автокорреляционная последовательность определяется

Эти пределы существуют при условии, что представляет собой стационарный процесс с конечным значением. Так как являются суммой бесчисленного множества случайных величин, они тоже являются случайными величинами. Однако для зргодического случайного процесса они практически являются константами, равными также и соответствующим средним значениям по ансамблю. При этом для любой одиночной выборочной последовательности при имеем

Ранее уже было отмечено, что оператор временного среднего значения обладает теми же свойствами, что и оператор среднего значения по ансамблю и было обращено внимание на вследствие этого обычно можно не различать случайные величины и их значения в выборочной последовательности Таким образом,

и

Обычно считают, что рассматриваемая последовательность является выборочной последовательностью зргодического случайного процесса, и это позволяет определять величины и другие рассматриваемые далее величины по одиночной последовательности, являющейся последовательностью с бесконечной энергией. Так как в приведенных выше выражениях нельзя без специального обоснования указать приемлемые конечные значения которыми можно ограничиться (предел практически нереализуем), возникает необходимость решения следующей задачи: из конечной выборки данных

Рис. 3.16 (см. скан)

должна быть найдена оцейка средних случайного процесса. К вопросу статистического решения этой задачи вернемся в этого параграфа.