В. z-преобразование свертки последовательностей. Теорема о комплексной свертке, ее применение при получении соотношения Парсеваля для z-преобразования.

Пусть для последовательностей их z-преобразованиями являются причем соответственно Для свертки последовательностей

ее z-преобразование

Область сходимости по крайней мере является пересечением областей сходимости Область сходимости может быть более широкой, если полюс, ограничивающий область сходимости или компенсируется нулем соответственно другого из этих преобразований.

При рассмотрении в гл. II преобразований Фурье непрерывных функций было отмечено, что, тогда как спектр свертки двух функций времени равен с точностью до постоянного коэффициента произведению их спектров, свертка этих спектров тоже с точностью до постоянного множителя отвечает произведению данных функций времени (см. уравнения (2.42) и (2.38)). Для z-преобразований такой аналогии с формулами (3.92) и (3.93) не существует. Указанная инверсия здесь принципиально невозможна, так как последовательности представляют собой дискретные функции времени, а их z-преобразования являются непрерывными функциями переменной z.

Если z-преобразованием последовательности является и z-преобразованием последовательности является то

z-преобразование последовательности определяется по следующей формуле, имея в виду получение которой, говорят о доказательстве теоремы о комплексной свертке:

Контурный интеграл, указанный в правой части уравнения (3.94), берется при обходе в направлении против часовой стрелки контура С, находящегося в пересечении областей сходимости Если области сходимости ограничены соответственно значениями то для определяемого формулой (3.94) преобразования границы области сходимости получаются при объединении этих значений: [85]. В некоторых случаях, так же как это указывалось для ранее рассмотренных z-преобразований, область сходимости может быть и более широкой. Примеры определения области сходимости рассматриваемой здесь функции приведены в [85,101].

Укажем, как получены формула (3.93) и формула (3.94). Сначала дадим вывод формулы (3.93). В выражении z-преобразования свертки последовательностей

представляемом как

изменяем порядок суммирования и вводим обозначение учитывая, что при этом Получаем

Так как здесь а при вынесении за знак первой суммы остается приходим к формуле (3.93).

Чтобы вывести формулу свертки (3.94), подставим в следующее из общей формулы обратного z-преобразования (3.56) выражение где С - контур обхода в направлении против часовой стрелки, находящийся в области сходимости Группируя в полученном уравнении члены

так, что оно приводится к Виду

и имея в виду то, что здесь

приходим к формуле (3.94). Таким образом, оказывается доказанной теорема о комплексной свертке.

Теорема о комплексной свертке применена при выводе соотношений, используемых при разработке ряда цифровых систем управления и связи. Одним из них является соотношение Парсеваля, представляющее собой обобщение для z-преобразований соотношения Парсеваля для преобразования Фурье, о котором говорилось раньше. Согласно обобщенному для комплексных последовательностей соотношению Парсеваля

При вычислении указанного в правой части уравнения (3.95) контурного интеграла интегрирование производится в направлении против часовой стрелки по контуру, находящемуся в пересечении областей сходимости При выводе уравнения (3.95) используется также и ранее указанное свойство z-преобразования, согласно которому z-преобразование последовательности является если есть z-преобразование последовательности

В тех случаях, когда и сходятся на единичной окружности, принимая получают на основании уравнения (3.95) следующую форму представления соотношения Парсеваля: