Б. Спектральная плотность, эвтокорреляционная и взаимно корреляционная функции случайных процессов.

Случайный процесс не ограничен по времени, не является исчезающим. Поэтому для него не может быть выполнено представленное в обычном виде преобразование Фурье. Используется так называемое условное преобразование Фурье, определяемое следующим образом. Вводится в рассмотрение ограниченная по времени, заданная в интервале функция которая в этом интервале совпадает с а за пределами его равна нулю. Для этой функции преобразование Фурье

Условным преобразованием Фурье случайного процесса называют

Спектральной же плотностью случайного процесса называется квадрат модуля функции

или, в другой записи,

где комплексная величина, сопряженная с

В силу указанных выше особенностей случайного процесса к нему неприменимы выражения автокорреляционной и взаимно корреляционной функций (2.115) и (2.119), и эти функции определяются соответственно с использованием приведенных в § 5 формулы (2-117) и формулы (2.120):

Последняя формула может быть приведена, как тоже было отмечено в § 5, и к следующему виду:

Для автокорреляционной функции имея в виду выражение (2.138) и делая выводы, аналогичные тем, которые привели в § 5 к

получению формул (2.121) и (2.122), находим, что

Можно и сразу, как это иногда делается (см. [135]), принять последние формулы за исходные при введении понятия спектральной плотности случайного процесса.

Формулы (2.140) и (2.141) могут быть преобразованы к другому виду:

Формулы (2.142) и (2.143) получаются так. Подставляем в формулу и в формулу . Интегралы от мнимых составляющих соответствующих выражений равны нулю, так как величины вещественные (для ) это следует из ее определения; см (2.138)). Изменение же пределов интегрирования в остающихся вещественных составляющих рассматриваемых выражений с удвоением величины интеграла правомочно, так как функция, четная относительно , а функция, четная относительно и четной функцией относительно и относительно является

Формула (2.143) применяется для расчета спектральной плотности случайного процесса по заданной автокорреляционной его функции Зная же спектральную плотность можно найти среднеквадратическое значение случайного процесса

Формула (2.144) получается следующим образом. Согласно определению среднеквадратического значения (2-135) имеем

Сравнивая последнее выражение с выражением автокорреляционной функции случайного процесса

находим, что Но тогда из формулы (2.142) следует (2.144).

На основании ранее сказанного можно сделать заключение об однозначной зависимости между автокорреляционной функцией и спектральной плотностью для рассматриваемых случайных процессов. В курсах теории управления и связи указаны формулы и даны графики автокорреляционной функции и спектральной плотности типовых стационарных случайных процессов. В качестве примера в табл. 2.2 приведены для ряда характерных процессов данные о спектральной плотности, отвечающей автокорреляционной функции соответствующего процесса [135]. Особого внимания заслуживает случайный процесс, называемый "белым шумом" (первая строка

Таблица 2.2 (см. скан)

табл. 2.2), для которого автокорреляционной функцией является -функция, а спектральная плотность постоянна во всем диапазоне частот от до Укажем далее, что представляет собой взаимная спектральная плотность случайных процессов соответствующая их взаимно корреляционной функции Рассуждаем так же, как это было сделано при рассмотрении одного случайного процесса. Только лишь теперь

где комплексная величина, сопряженная с комплексной величиной соответственно преобразование Фурье функции и преобразование Фурье функции которые определяются аналогично тому, как было определено раньше преобразование Фурье для одиночного случайного процесса