§ 7. Использование z-преобразования и ДПФ при проектировании цифровых фильтров

А. Цифровые фильтры.

Цифровыми фильтрами называют устройства, преобразующие цифровые последовательности. В общем случае процесс работы цифрового фильтра описывается разностным уравнением

которое при принятии приводится к виду

Здесь номера точек отсчета; у их — соответственно значения в заданных точках отсчета выходной и входной последовательностей; и постоянные коэффициенты.

Если в уравнении (3.102) имеются коэффициенты не равные нулю, то цифровой фильтр назьшается рекурсивным. У рекурсивного фильтра каждое значение зависит не только от и предшествующих значений входной последовательности, но и от предшествующих значений выходной последовательности. Такой цифровой фильтр при аппаратной

его реализации представляет собой устройство, содержащее обратные связи. Все предшествующие значения х и у запоминаются ячейками памяти. Наличие обратных связей предусматривается и при программной реализации рекурсивных цифровых фильтров.

Если в уравнении (3.101) все коэффициенты при равны нулю, то цифровой фильтр, работа которого описывается этим уравнением, называется нерекурсивным. В нерекурсивном фильтре не имеется обратных связей. Каждое из значений у зависит в этом случае только от текущего значения х входной последовательности и от предшествующих ее значений, запомненных ячейками памяти.

В дальнейшем будут рассмотрены цифровые фильтры, описываемые разностным уравнением (3.102) при Таким образом, примем за исходное представленное в общем виде разностное уравнение

От описьюающего работу цифрового фильтра разностного уравнения можно перейти к соответствующей ему передаточной функции, которая определяется следующим образом. Если есть z-преобразование входной последовательности есть z-преобразование выходной последовательности то передаточной функцией устройства, в данном случае — цифрового фильтра, называют отношение Это определение передаточной функции, которым будем в дальнейшем пользоваться, отличается от определения передаточной функции, которое было дано в гл. II. Заменой в выражении передаточной функции переменной z на получается частотная характеристика фильтра. Во временной области определяющей для цифрового фильтра является его импульсная характеристика. Передаточная функция представляет собой z-преобразование импульсной характеристики, а последняя определяется по ней путем выполнения обратного z-преобразования.

Цифровые фильтры, имеющие импульсную характеристику конечной длительности, называются КИХ-фильтрами, а цифровые фильтры, у которых импульсная характеристика не является конечной, - БИХ-фильтрами. О КИХ- и БИХ-системах уже говорилось раньше в § 3. Нерекурсивные цифровые фильтры являются КИХ-фильтрами, а рекурсивные цифровые фильтры могут быть КИХ-фильтрами или БИХ-фильтрами.

Останавливаясь на выборе для реализации заданных частотных характеристик БИХ- или КИХ-фильтра, учитывают следующее. С помощью БИХ-фильтра может быть высококачественно воспроизведена заданная амплитудная характеристика, но фазовая характеристика получается при зтом нелинейной. При использовании же КИХ-фильтра возможно получение строго линейной фазовой характеристики. При этом могут быть получены любые амплитудные характеристики, но воспроизведение заданной амплитудной характеристики обычно является менее точным, чем при использовании БИХ-фильтра.

В зависимости от того, какие требования должны быть удовлетворены, оказывается более целесообразным применение БИХ-фильтра или КИХ-фильтра.

Сложность реализации КИХ-фильтров связана с тем, что для достаточно точного воспроизведения заданных функций обычно оказьюается необходимым использование импульсных характеристик с большим числом отсчетов. Использование последовательностей большой длины требуется, например, для создания КИХ-фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы. Сейчас КИХ-фильтры успешно конкурируют с БИХ-фильтрами, имеющими такие частотные характеристики. Важным преимуществом нерекурсивных КИХ-фильтров является то, что для них относительно просто минимизируются шумы округления, возникающие при выполнении с заданной точностью вычислительных операций. Практическое использование КИХ-фильтров оказалось возможным только после того, как был создан метод БПФ и были разработаны основанные на его применении процедуры быстрой свертки, которые были описаны нами в § 6.

В следующих разделах § 7 будут рассмотрены вопросы использования z-преобразования и БПФ при проектировании КИХ-фильтров и БИХ-фильтров. До этого еще раз вернемся к определению того, что представляют собой цифровые фильтры, и к характеристике выполняемых ими функций.

Кроме указанного в начале этого раздела определения, в литературе встречаются и другие. Так, в книге [85] понятие цифрового фильтра уточняется следующим образом: "В наиболее общем смысле цифровой фильтр представляет собой линейную инвариантную к сдвигу дискретную систему, которая реализуется на основе использования арифметического устройства с ограниченной точностью. Проектирование цифрового фильтра включает три основных этапа: 1) определение требуемых свойств системы; 2) аппроксимацию этих требований на основе физически реализуемых дискретных систем; 3) реализацию системы при использовании арифметики с ограниченной точностью". Указьюается также, что при построении цифрового фильтра программным путем на универсальной ЭВМ или в виде специализированного устройства взаимосвязь между входом и выходом должна быть преобразована в форму алгоритма вычисления.

Цифровыми фильтрами, спроектированными каждый раз соответствующим образом, могут выполняться различные функции. Чаще всего применяются фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые, режекторные. Что они собой представляют, будет пояснено в следующем разделе при рассмотрении их частотных характеристик. Применяются также многополосные цифровые фильтры и цифровые фильтры, выполняющие функции дифференциаторов и функции преобразователей Гильберта.

В отечественной литературе, в отличие от зарубежных источников, фильтры разделялись раньше только на рекурсивные и нерекурсивные, причем не оговаривалась особо принадлежность конкретного фильтра к разряду КИХ- или БИХ-фильтров. Однако в книгах более позднего выпуска такое разделение уже предусмотрено (см., например, [53]).