Г. Формулы БПФ.
Перепишем ранее указанную формулу 
-точечной последовательности в форме
где так называемый поворачивающий множитель
Аналогично, что одной и другой из 
-точечных последовательностей определяется ДПФ следующим образом:
и
где
Учитывая, что согласно (3.67) и (3.70)
приводим выражения 
и 
к виду
Дальнейшие выводы сделаем раздельно для БПФ с прореживанием по времени и для БПФ с прореживанием по частоте.
Сначала рассмотрим БПФ с прореживанием по времени. Формулу (3.66) перепишем, разделяя отсчеты при четных и при нечетных и:
Учитывая выражения (3.72), (3.73), (3.62), (3.63), преобразуем эту формулу так:
Формула (3.75) является основной формулой, используемой при выполнении БПФ с прореживанием по времени. Однако она позволяет определить 
только для значений к от 
до 
Для нахождения же 
при 
она преобразуется так, как показывается ниже, причем принимаются во внимание следующие соображения. 
при 
периодически соответственно повторяют 
определенные для 
Это вытекает из того, что в выражениях (3.68) и 
от к не зависят, 
является периодической по к последовательностью с периодом 
(см. п. 1 второй части раздела Д). Поэтому формула (3.75) может быть представлена и в такой записи:
Формула (3.76) дополняет формулу (3.75).
Так как (см. п. 2 второй части раздела Д)
то можно представить формулу (3.76) и в следующем виде:
Для всех рассматриваемых значений к показано, как зависит 
-чечной последовательности отсчетов от ДПФ одной и другой 
-точечных последовательностей, полученных в результате прореживания по времени.
Вьюедем далее формулы, лежащие в основе алгоритма БПФ с прореживанием по частоте. Имея в виду используемый в зтом случае описанный в разделе В способ разделения 
-точечной последовательности отсчетов на части, представим формулу (3.66) так:
Принимая во внимание соотношения (3.64) и (3.65), имеем
Рассмотрим отдельно выражения (3.77) для четных к и для нечетных к, вводя в (3.77) вместо обозначения к соответственно обозначения 
(это и есть прореживание по частоте, аналогичное описанному ранее прореживанию по времени). При зтом получим
Производя перегруппировку слагаемых в правой части каждого из зтих выражений, учитывая, что 
(см. п. 3 второй части раздела Д), придем к следующим уравнениям БПФ с прореживанием
по частоте:
Возможна и другая запись этих уравнений с учетом того, что 
