Г. Другие применения теоремы о комплексной свертке. Преобразования Гильберта.

Теорема о комплексной свертке имеет и иные, кроме указанного выше, приложения. С применением теоремы Парсеваля, представляющей собой упрощенный вариант теоремы о комплексной свертке, встретимся в § 8, отмечая один из подходов к определению энергетического спектра случайных последовательностей. Важным применением теоремы о комплексной свертке являются выводы, поясняющие так называемые преобразования Гильберта. Эти преобразования эффективно используются в технике цифровой обработки сигналов.

Рассмотрим z-преобразование импульсной характеристики линейной и устойчивой физически реализуемой системы для любой точки, находящейся за пределами окружности единичного радиуса. Оно может быть представлено в функции только вещественной или только мнимой части преобразования Фурье данной импульсной характеристики. Этот вывод

основан на том, что для вещественной последовательности) вещественная и мнимая части ее преобразования Фурье могут быть выражены одна через другую. Соответствующие выражения называют дискретными преобразованиями Гильберта. Парой преобразований Гильберта являются [101]

Обозначение в появилось здесь в связи с тем, что при записи формулы теоремы о комплексной свертке принято Обозначение при интеграле указывает на то, что при выводе формул (3.97) и (3.98) использовались главные значения интеграла типа Коши, сокращенно записываемые так, как было указано в § 7 гл. II. Здесь равняется при

Наряду с выводом указанных выше формул (см. [101], с. 81—84; см. также замечания, которые делаются ниже) могут быть получены и формулы дискретного преобразования Гильберта, устанавливающие связь между логарифмом модуля частотной характеристики и фазовой характеристики физически реализуемой минимально-фазовой системы. Под последней имеется в виду система, для которой все нули и полюсы передаточной функции находятся на z-плоскости в области, ограниченной окружностью единичного радиуса.

Практическое значение имеют преобразования Гильберта для вещественных сигналов. В комплексном сигнале рассматриваются вещественные последовательности для которых парой преобразований Гильберта являются [101]

Эти выражения получены в предположении, что имеется фильтр, импульсная характеристика которого следующего вида: при и при

Укажем в дополнение к ранее сказанному то, что относится к выводу формул (3.97) и (3.98). Пусть физически реализуемая последовательность и ее -преобразование. Принимается, что все полюсы находятся в пределах круга единичного радиуса и, следовательно, является регулярной функцией. Преобразование Фурье рассматриваемой последовательности В § 3 было показано, как последовательность определяется в функции от

четной ее части илив функции от нечетной ее части Согласно формуле (3.27) имеем Последняя формула используется при определении z-преобразования в точках z, находящихся за пределами окружности единичного радиуса, т.е. тогда, когда для имеет место Подставляя в выражение значение получаем

Здесь есть произведение двух последовательностей, для которого преобразование Фурье определяется с помощью теоремы о комплексной свертке. Получается уравнение, связывающее значения в точках за пределами единичной окружности и значения на единичной окружности. Так же выводится и второе уравнение для получаемое при принятии за исходную формулы (3.28), согласно которой Для установления связи между в выражениях, полученных при выводе указанных выше двух уравнений, находятся для них предельные значения при ; при зтом появляются интегралы в смысле главного значения по Коши. В результате получаются формулы (3.97) и (3.98).

Вывод формул (3.99) и (3.100) также приведен в книге [101]. Более подробно дискретные преобразования Гильберта описаны в книге [85].