Б. Погрешности при аппроксимации функций.

Основными погрешностями при разложении периодических функций в ряд Фурье являются погрешности, обусловленные тем, что берется не бесконечное, как это должно было бы быть согласно формуле (2.13), а ограниченное конечное число гармоник. В гл. I был приведен уже пример, показывающий, как улучшается аппроксимация функции с увеличением числа учитываемых членов ряда Фурье. В некоторых случаях нужно принимать во внимание значительное число членов ряда. Проиллюстрируем это следующим примером. На рис. 2.3, а показан спектр амплитуд для периодической последовательности прямоугольных импульсов при относительно большом периоде их повторения: скважность, представляющая собой отношение периода повторения к ширине импульса, равнялась здесь 12 [46].

Важным является указываемое далее свойство разложения функций в ряд по ортогональным базисным функциям, будь то рассматриваемым

Рис. 2.3

здесь тригонометрическим «ли иным, о которых пойдет речь в гл. IV. Пока будем иметь в виду обычное разложение функции в ряд Фурье. Свойство это следующее: при принятии для аппроксимации заданной функции ограниченного числа N членов ряда получается минимальная среднеквадратическая ошибка, т.е. такая, которая заведомо меньше среднеквадратической ошибки, которая была бы получена, если бы используемые базисные функции не были бы попарно ортогональными.

С тем чтобы показать это, рассмотрим выражение ряда Фурье для функции представленное в форме (2.13). Коэффициентами ряда являются коэффициенты (2.14). Однако о последних пока забудем. Получим выражения коэффициентов условия минимизации на интервале от до среднеквадратической ошибки

где

С тем чтобы минимизировать величину коэффициенты возьмем такими, чтобы выполнялось условие

Рассмотрим какой-либо один из указанных выше коэффициентов. Пусть, например, это будет коэффициент Выводы, которые будут сделаны, можно равным образом повторить и для других коэффициентов. Подставляя значение из (2.54) в выражение (2.53), дифференцируя последнее по и приравнивая в соответствии с (2.55) производную нулю, получаем

Производная Учитывая условия попарной ортогональности базисных функций (см. гл. I), приходим к тому, что

откуда с учетом того, что , находим

Таким образом, используя условие минимизации среднеквадратической ошибки аппроксимации функции при ограниченном числе членов

ряда, мы получили то же выражение коэффициента ряда, что и следующее из соответствующей из формул (2.14), выведенных для ряда Фурье, содержащего бесконечное число членов.

Этим подтверждается то, что ограничение лишь первыми N членами ряда Фурье приводит к минимальной погрешности аппроксимации заданной функции. С увеличением числа N ранее подсчитанные коэффициенты не изменяются, а среднеквадратическая ошибка аппроксимации уменьшается. К таким выводам мы, разумеется, пришли бы, если бы рассматривали разложение функции в ряд и в периоде от до при произвольных

При разложении разрывных функций в ряд Фурье возникают погрешности в окрестности точек разрыва, связанные с так называемым явлением Гиббса. Существо вопроса заключается здесь в следующем. Теоретически в ряд Фурье может быть разложена любая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (см. с. 26). Если производится разложение функции в ряд Фурье в промежутке , то получаем, согласно формуле (2.13), сумму ряда, которая дает для всех значений в промежутке значения

где при условии, что есть величина положительная,

Так же должно было бы быть и при разрыве в точке для которой аналогичным образом должно быть получено

Однако, если, рассматривая N первых членов ряда, затем устремить N к бесконечности, то характеристика переходит через линию разрыва, как показано на рис. 2.3, б. Отрезки составляют около 0,09 от величины разрыва. Эти перескоки за линию разрыва и называются явлением Гиббса.

Указанные погрешности имеют место при разложении периодических функций в ряд Фурье. То, что раньше было сказано об учете только N первых членов ряда Фурье, означает, что производится усечение линейчатого спектра периодической функции спектральные линии, отвечающие большим, чем , частотам, не принимаются во внимание, что и является источником погрешности.

Для апериодических функций погрешности спектрального их представления тоже чаще всего бывают связаны с усечением характеристики спектральной плотности соответствующей функции Наиболее часто возникают погрешности при спектральном представлении процессов в тех случаях, когда исследуемая функция повторяется в течение нескольких периодов но не является истинно периодической: число периодов не бесконечно большое, как теоретически должно было бы быть, чтобы функцию можно было считать периодической, и недостаточно велико для того, чтобы хотя приближенно можно было принять ее за периодическую.

Этот вопрос имеет большое значение, так как, иногда изменив число рассматриваемых периодов такой апериодической функции всего лишь на один период, получаем существенно измененную характеристику спектральной плотности. Иллюстрацией могут служить спектральные характеристики, изображенные на рис. 2.3, в и . В верхней и нижней частях рис. 2.3, в соответственно представлены характеристики изменения в зависимости от частоты модуля спектральной плотности последовательностей трех и четырех прямоугольных импульсов, имеющих в том и другом случае скважность Пунктирной линией показана характеристика изменения модуля спектральной плотности одного импульса. На рис. 2.3,г в верхней его части и на следующих двух фигурах представлены спектральные характеристики косинусоиды полученные в случаях, когда рассматривалось периодов, соответственно равных 2, 4 и 8; в нижней части рисунка показана единственная линия линейчатого спектра данной функции, получаемая при На всех этих графиках по оси ординат отложены отношения модуля спектральной плотности к ее модулю при по оси абсцисс — отношение частот

К вопросу об изменениях модуля спектральной плотности апериодической функции вернемся еще раз в разделе В § 5 гл. II.