§ 10. Интегрирующий множитель
Пусть левая часть уравнения
не есть полный дифференциал. Иногда удается подобрать такую функцию 
после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения; функция 
называется интегрирующим множителем уравнения (1).
Для того чтобы найти интегрирующий множитель 
поступаем следующим образом-: умножим обе части данного уравнения на неизвестный пока интегрирующий множитель 
:
Для того чтобы последнее уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
т. е.
или
После деления обеих частей последнего уравнения на 
получим
Очевидно, что всякая функция 
удовлетворяющая последнему уравнению, является интегрирующим множителем уравнения (1). Уравнение (2) является уравнением в частных производных с неизвестной функцией 
зависящей от двух переменных х и у. Можно доказать, что при определенных условиях оно имеет бесчисленное множество решений и, следовательно, уравнение (1) имеет интегрирующий множитель. Но в общем случае задача нахождения 
из уравнения (2) еще труднее, чем первоначальная задача интегрирования уравнения (1). Только в некоторых частных случаях удается найти функцию 
.
Пусть, например, уравнение (1) допускает интегрирующий множитель, зависящий только от у. Тогда
и для отыскания 
мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
из которого определяется (одной квадратурой) 
а следовательно, 
. Ясно, что так можно поступать только в том случае, если выражение 
не зависит от 
Аналогично, если выражение 
не зависит от у, а зависит только от 
то легко находится интегрирующий множитель, зависящий только от 
Пример. Решить уравнение
Решение. Здесь 
Следовательно, левая часть уравнения не есть полный дифференциал. Посмотрим, не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя, зависящего только от у. Заметив, что
заключаем, что уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от у. Находим его: — отсюда 
. После умножения всех членов данного уравнения на найденный интегрирующий множитель получаем уравнение 
в полных дифференциалах 
Решая это уравнение, найдем его общии интеграл 
или 
