2.2. Наложение

Эффект наложения, сопутствующий выборке данных через равноотстоящие интервалы, не удивит читателя, который видел ковбойские фильмы. Когда колеса дилижанса вращаются все быстрее и быстрее, кажется, что они замедляются, а затем останавливаются. Если диапазон изменения скорости достаточно велик, то в некоторые моменты времени может показаться, что колеса движутся назад, стоят на месте или движутся вперед. Любая действительно высокая скорость вращения колес предстает перед нами как результат выборки изображений и «наложения» их с образованием низкой частоты вращения. На рис. 2.2.1 символически показано колесо с четырьмя спицами, вращающееся с разными скоростями; сознание человека интерпретирует видимую картину как слабое движение, вытекающее из наблюдений.

Другое обычное проявление эффекта наложения, происходящего из-за процесса дискретизации, возникает в том случае, когда стробоскоп мелькает со скоростью, близкой к той, которую имеет деталь вращающегося оборудования. Если стробоскоп мелькает со скоростью,

немного меньшей, чем скорость вращения (или кратной ей), то мелькания воспринимаются глазами так, как если бы вращение машины происходило медленно вперед; при сближении скоростей кажущееся вращение замедляется. И снова мы видим, что одна частота налагается на другую из-за процесса получения равноотстоящих отсчетов.

Рис. 2.2.1. Медленное вращение, представляется как прямое вращение (а); среднее вращение, представляется как неподвижное колесо с двойным числом спиц (б); быстрое вращение, представляется как обратное вращение (в)

В случае дискретизации синусоиды отсчеты берутся только для одной составной части вращения колеса — вертикальной или горизонтальной (либо в каком-нибудь другом удобном направлении). В результате благодаря дискретизации через равные интервалы времени (независимая переменная) можно наблюдать явление наложения как простое следствие тригонометрических равенств.

Рассмотрим синусоиду

где — целое положительное или отрицательное число, положительная дробная часть исходной скорости вращения, Ф — произвольный фазовый угол. Поскольку мы берем отсчеты синусоиды в целочисленные моменты времени то уменьшение любого угла на не изменяет значения косинуса. Следовательно, синусоида эквивалентна Если то мы можем удалить еще и так как то в точках отсчетов

Таким образом, используя только простую тригонометрию, мы показали, что в точках отсчетов любая синусоида произвольной частоты эквивалентна синусоиде с частотой, которая лежит между 0 и 1/2; эквивалентна в том смысле, что две синусоиды имеют одинаковые значения в точках отсчетов (рис. 2.2.2). В полном смысле слова две частоты неразличимы — высокая частота «налагается» на низкую (проявляется как низкая частота) исключительно из-за процесса дискретизации.

Рис. 2.2.2. Наложение

Этому эффекту не подвержены только синусоиды с достаточно низкими частотами, такими, что на каждый период приходится по крайней мере два отсчета.

Для иллюстрации укажем, что функция

имеет такие же значения, как и функция

во всех точках отсчетов и, следовательно, здесь исходная функция будет накладываться на более низкочастотную функцию.

Упражнения

(см. скан)