11.4. Фильтры Баттерворта

Вероятно, наиболее известным типом рекурсивного фильтра является фильтр Баттерворта. Такие фильтры соответствуют рассмотренным ранее нерекурсивным гладким фильтрам (гл. 7). Для фильтра Баттерворта выбирается рациональная функция

Эта функция обладает простыми свойствами: высокий порядок касательной в начале координат и в бесконечности (для переменной и гладкость в других местах.

Используя рис. 11.4.1, можно найти расчетные параметры и Сначала запишем два условия для краев переходной полосы

Далее, возьмем обратную величину для обоих уравнений и, сделав некоторые упрощения, получим

Рис. 11.4.1. Фильтр Баттерворта

Чтобы исключить поделим одно уравнение на другое

Решая относительно будем иметь

и, следовательно,

Таким образом, мы определили все параметры произведения

Для того чтобы найти подходящую поступим следующим образом. Полюса этого выражения даются нулями знаменателя, т. е.

Нули, которые мы хотим иметь в верхней полуплоскости, очевидно, задаются значениями

Если из этих нулей образовать пары, по одному от каждого конца, т. е. то получим для каждой пары

Поскольку

то с учетом этого

Чтобы вернуться к -переменной, сделаем подстановку

и будем иметь в качестве действительного квадратичного множителя, соответствующего двум комплексным сопряженным линейным сомножителям,

Имеется, конечно, самое большее таких множителей, по одному для каждого

Если нечетное, то слева остается один множитель

и подстановка для возвращения к дает

Эти множители были в знаменателе, поэтому инвертирование их приводит к

с включением, возможно, линейного множителя. При образовании полинома из его нулей, общий множитель полинома остается произвольным. Мы используем тот факт, что при желательно иметь в фильтре единичное усиление, для чего необходимо опустить коэффициент — 1 в каждом квадратичном множителе и в линейном множителе, если он появляется.

Можно было предположить; что мы теперь перемножим выражения в числителе и знаменателе, чтобы найти коэффициенты отдельных степеней и таким образом получить коэффициенты фильтра. Однако это не обязательно и к тому же может привести к серьезным ошибкам округления. Вместо этого образуем пары из каждого множителя 2-й степени в числителе и квадратичного множителя в знаменателе, а также множителя 1-й степени, если в знаменателе он окажется. Это дает характеристику желаемой передаточной функции фильтра в форме каскадного соединения (произведения) передаточных функций второго порядка (и возможно, одной функции первого порядка)

где

Чтобы вернуться к исходному цифровому фильтру, напомним, что рекурсивный цифровой фильтр второго порядка

имеет (разд. 11.1) передаточную функцию

Следовательно, мы можем идентифицировать коэффициенты передаточной функции с коэффициентами желаемого цифрового фильтра; отметим, что коэффициент при в знаменателе второй формы равен 1, и поэтому впервой форме нужно поделить каждый коэффициент на коэффициент при перед тем как приравнивать соответствующие коэффициенты этих двух форм.

При такой структуре фильтра первоначальные данные обрабатываются одним фильтром второго порядка, его выходные данные обрабатываются следующим фильтром и т. д., включая, возможно, один фильтр первого порядка. Таким путем достигается желаемый результат обработки исходных данных фильтром Баттерворта порядка.