3.7. Нехватка данных и интерполяция

В длинных записях данных часто отсутствует одно или более (отдельных) значений. Эта ситуация имеет место по различным причинам: не могли быть сделаны измерения, измерения были записаны с ошибкой и поэтому позже отброшены, либо формула, используемая для вычисления последовательных значений функции, могла содержать неопределенность, как например при и ЭВМ отказала при делении на нуль.

Вероятно, наиболее общий путь восполнения отдельного недостающего значения состоит в том, чтобы применить формулу интерполяции, основанную на предположении, что данные локально представляют полином некоторой нечетной степени. Это эквивалентно предположению, что следующая разность более высокого порядка равиа нулю. Например, допустим, что разность четвертого порядка равна нулю. Тогда имеем

Решение этого уравнения относительно дает очень удобную стабильную формулу для недостающего значения

Коэффициент усиления шума этой формулы (разд. 1.7) равен 34/36.

Заметим, что восполнение одного отдельного недостающего значения — это не то же самое, что обычный динамический процесс отображения потока данных, проходящих через цифровой фильтр. Тем не менее можно проверить, что делает формула с любой данной

частотой и, следовательно, рассмотреть ее передаточную функцию. Чтобы сделать это, мы поступим, как обычно: заменим функции комплексной частотой При этом получим

в качестве передаточной функции, которая дает значение, равное 1, если интерполированное значение точно такое, какое должно было быть. Нетрудно видеть, что мы получаем правильный ответ для нулевой частоты. Для более высоких частот это значение не является дестаточно точным, особенно для очень высоких частот.

Рис. 3.7.1. Передаточная функция для восстановления недостающих данных

Если этот результат покажется странным, как это видно из рис. 3.7.1, тогда проверка предельной функции на интервале Найквиста, а именно покажет, почему кривые таковы, как они есть. Отрицательные значения на графике передаточной функции означают изменение в знаке. Рисунок также дает кривые для случаев обращения в нуль разностей шестого и восьмого порядков.

И снова мы видим, что новый путь рассмотрения старых методов дает значительно больше знаний о том, как работает формула, чем непосредственное ее рассмотрение. Силу частотного подхода видно благодаря

собственным функциям линейной дискретизирующей системы с равноотстоящими отсчетами. Приведенные формулы явно указывают на опасность интерполяции недостающего значения, когда данные зашумлены, что означает наличие в них значительного количества высоких частот.

Подобные кривые могут быть построены по формулам, использующим в качестве основы для интерполяции недостающего значения приближение полиномом ряда смежных значений по методу наименьших квадратов.

Если теперь вернуться к задаче интерполяции значений в средних точках некоторых данных, то простейшая (линейная) интерполяционная формула имеет вид

Используя четыре соседние точки и повышая точность формулы применением кубической параболы, получим формулу интерполяции

Вопрос интерполяции будет рассмотрен более подробно в разд. 7.1, где представлены передаточные функции этих формул.

Упражнения

(см. скан)