7.4. Полиномиальная обработка в общем виде

Прервем на время основную тему, которую можно было бы назвать «техникой алгебры», для того чтобы рассмотреть обращение с полиномами, которое потребуется далее в процессе расчета. Здесь мы снова увидим, что рекурсивные методы предпочтительнее тех методов, которые могут придти на ум в результате просмотра обычных математических курсов. Обычно такие курсы

концентрируют внимание больше на идеях и в минимальной степени на операциях, реализующих их. Ясно, что необходимо понять суть того, что мы делаем, прежде чем изучать путь выполнения, поэтому не будем придираться к математическим курсам, говоря, что они пренебрегают техникой алгебры. Теперь мы не могли не обратить внимание на эту ситуацию, приступая к выполнению обширных манипуляций с символами. Мы будем излагать содержание применительно к двум случаям: для расчетов на ЭВМ и для небольших расчетов, выполняемых вручную.

Например, как выполнить некоторые алгебраические преобразования, необходимые в предыдущем расчете. Мы начали с выражения

и получили полином относительно Давайте предположим, что Сравнительно легко трактовать и противоположный случай. Запишем отсюда имеем

Выражение с первой квадратной скобкой можно разложить с помощью стандартного биномиального процесса, чтобы получить ряд по степеням Отметим, что а) если рассматривать его как полином по то через один член идет нуль; б) при обычном процессе биномиальные коэффициенты вычисляются рекурсивно; и в) появление нуля указывает на конец рекурсии. Максимальный биномиальный коэффициент находится в середине бинома, но это относится к индексу а мы имеем разложение относительно вплоть до степеней Чтобы умножить это разложение на нужно только переписать ряд коэффициентов, сдвинув его на один шаг вправо, и затем вычесть его из первоначальных коэффициентов. Первый шаг просто комбинирует ненулевые числа с нулями и фактически не производит арифметических операций, а только подготавливает к рекурсии. Процесс сдвига ряда коэффициентов на один шаг вправо и последующее вычитание следует проделать точно раз, чтобы учесть йножитель Это можно сделать «с замещением» на ЭВМ.

Для интегрирования результирующего полинома следует просто поделить коэффициент на (и, конечно, увеличить в уме степень которую он

представляет). Оценка этого полинома при состоит из простого сложения коэффициентов с переменным знаком и определения постоянной интегрирования С, которая нужна, чтобы сделать интеграл равным нулю при

До сих пор можно было использовать любой (ненулевой) множитель для полинома, какой мы хотели, поскольку окончательная нормализация устранит этот множитель и приведет значение полинома к 1 при

Теперь, когда имеется постоянный член, можно оценить полином при Чтобы это сделать, просуммируем все коэффициенты. И наконец, при делении всех коэффициентов на это число, интеграл нормализуется так, что он приобретет значение 1 при Таким образом будет получена передаточная функция в форме полинома.

Мы снова убедились, что простая организация вычислений, основанная на рекурсивных методах, делает практичными алгебраические вычисления как на машине, так и вручную.