Глава 6. РАСЧЕТ НЕРЕКУРСИВНЫХ ФИЛЬТРОВ

6.1. Введение

Теперь, когда у нас есть необходимая математическая теория, мы уже подготовлены к расчету цифровых фильтров. Напомним, что типовым сглаживающим фильтром ранее был низкочастотный фильтр, у которого низкие частоты проходят на выход, а высокие не пропускаются и имеется переходная зона между полосами (или частотами) пропускания и подавления (рис. 6.1.1).

В гл. 3 рассчитывались такие фильтры с помощью нахождения конечного, симметричного набора коэффициентов. Был выбран цифровой фильтр в форме

Когда нужно было интерполировать недостающие данные, мы выбирали такой же тип цифрового фильтра, но принимали

Рис. 6.1.1. Низкочастотный фильтр

Рис. 6.1.2. Высокочастотный фильтр

Высокочастотный фильтр является противоположностью низкочастотному фильтру; он пропускает высокие частоты и не пропускает низкие (рис. 6.1.2). Его можно просто представить как разность между всепропускающим фильтром и низкочастотным фильтром.

Имеются также полосовые и заграждающие фильтры. Полосовой фильтр часто используется для исследования части спектра.

Рис. 6.1.3. Режекторный фильтр (см. скан)

Очень узкополосный заграждающий фильтр называется режекторным фильтром. Среди других применений режекторный фильтр (рис. 6.1.3) используется для устранения всегда присутствующих 60 Гц, которые попадают из энергетической системы США ( в Англии это 50 Гц).

Дифференцирующие фильтры требуют нечетной симметрии у коэффициентов (что приводит к наличию только синусных членов в разложении Фурье); они обладают свойством Интегрирование невозможно выполнить нерекурсивными фильтрами.

В разд. 4.4 показано, что любая функция может быть записана как сумма четной и нечетной функций. Аналогично можно записать следующее равенство:

которое показывает, что любой цифровой фильтр может быть записан в виде суммы сглаживающего (четного) и дифференцирующего (нечетного) фильтров. Сглаживающий фильтр можно рассматривать как линейную комбинацию сумм симметрично расположенных данных, в то время как дифференцирующий фильтр использует разности. Очевидно, что они просто являются косинусными и синусными членами общего разложения в ряд Фурье.

Для заданного симметричного цифрового фильтра можно подставить в уравнение и получить передаточную функцию . В результате симметрии коэффициентов в этом случае имеем ряд Фурье по косинусам и интервал Найквиста . В терминах частоты интервал Найквиста соответствует Передаточная функция симметрична относительно График значений этого ряда Фурье дает кривая передаточной функции.

Можно изменить порядок этих рассуждений (рис. 6.1.4). Выбирая передаточную функцию произвольной формы (симметричную) (рис. 6.1.4, а), можно найти, используя методы разд. 4.4 и 5.4, коэффициенты соответствующего косинусного ряда Фурье (рис. 6.1.4, б). Этот ряд Фурье, вообще говоря, будет иметь бесконечное число коэффициентов. На практике нужен конечный фильтр, и поэтому мы вынуждены отбросить коэффициенты после некоторого определенного значения (рис. Но усечение ряда приводит к явлению Гиббса, как уже рассматривалось в разд. 5.2, 5.6 и 5.7 (рис. 6.1.4, г). Чтобы устранить его, мы применяем окно Ланцоша (разд. 5.3), которое умножает коэффициенты на сигма-факторы (рис. Этот процесс, в свою очередь, приводит к сглаженной передаточной функции (рис. 6.1.4,е). Общий эффект для коэффициентов с разложения передаточной функции в комплексный ряд Фурье состоит в том, что мы умножаем на сигма-факторы для и на 0 для Следовательно, сигма-факторы являются коэффициентами умножающего окна. В

области преобразования это окно является свертывающим и описывает комбинацию процессов сначала образования явления Гиббса, а затем выполнения сглаживания Ланцоша.

Применение окон фон Ганна или Хемминга значительно уменьшает пульсации в окончательной передаточной функции, однако удваивает ширину переходной полосы.

В основном методе расчета (показанном на рис. 6.1.4) шаг, ведущий к рис. 6.1.4, б, определяет коэффициенты Фурье, которые обеспечивают приближение по наименьшим квадратам (разд. 4.4).

Рис. 6.1.4. Передаточная функция (а), коэффициенты Фурье (б), усеченные коэффициенты Фурье (в), явление Гиббса (г), весовые коэффициенты (д), сглаженная функция (е)

Сигма-факторы изменяют это основное приближение по наименьшим квадратам. В следующем разделе этот метод будет иллюстрироваться на специальном примере.

Чтобы кратко подытожить наш первый метод расчета, укажем последовательность его этапов. Задавшись симметричной передаточной функцией необходимо: найти первые косинусных коэффициентов Фурье умножить эти коэффициенты на соответствующие сигма-факторы, используя то же значение

преобразовать результирующие коэффициенты в соответствующие с (фильтра) путем деления на 2 (при этом сохранить постоянный член); наконец, построить график результирующей передаточной функции для проверки результатов.