2.3. Понятие собственной функции

Название собственная функция происходит от немецкого eigenfunction и соответствует тому, что в старых английских учебниках называлось характеристической или натуральной функцией.

Чтобы показать особый случай собственных функций, рассмотрим умножение квадратной матрицы размерности на вектор х размерности Произведением будет другой вектор у размерности

Если бы А была единичной матрицей, тогда, конечно, вектор х был бы равен вектору у в том смысле, что все компоненты этих векторов были бы одинаковы. Кроме того, если то и но в дальнейшем мы исключим функцию (вектор), которая тождественно равна нулю.

Обычно выходной вектор у имеет направление -мерном пространстве), отличное от входного вектора х. Для типичной матрицы А размерности должно быть различных векторов х таких, что соответствующий им вектор у будет иметь то же самое направление, какое имел вектор х, хотя не обязательно такую же длину, т. е. будем иметь

для некоторой константы X. Чтобы увидеть справедливость этого замечания, можно записать предыдущее уравнение в форме

где I — единичная матрица. Для того, чтобы это уравнение имело решение, которое не было бы тождественно равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы уравнений

Этот определитель при развернутой записи становится полиномом от X степени и в общем случае он будет иметь различных нулей действительных или комплексных (матрица А должна быть такой, чтобы не было кратных нулей). Таким образом, в общем случае имеется различных с соответствующими векторными решениями (отметим, что есть вектор, а не компонента вектора). Значения называются

собственными значениями, собственными векторами. Для данного собственного значения определитель равен нулю, а соответствующий собственный вектор определяется, конечно, с точностью до мультипликативной константы.

Почему важны собственные векторы? Имеется (в общем случае) различных собственных векторов и можно показать, что они линейно независимы. Поэтому они могут служить в качестве базиса для представления произвольного вектора х размерности Следовательно, можно произвольный вектор х выразить как линейную комбинацию из собственных векторов

Если теперь умножить обе части этого уравнения на матрицу А (иными словами, применить операцию А к уравнению) и провести вычисления, то получим

Видно, что здесь каждый собственный вектор умножается на соответствующее ему собственное значение. Эффект умножения на матрицу А (применения оператора А) в представлении собственного вектора легко прослеживается. Собственные векторы остаются независимыми один от другого.

Например, матрица

приводит к соответствующему определителю

Разложение этого определителя дает уравнение для собственных значений

которое имеет нули Если мы используем то для матричного уравнения (где мы применим обозначение для компоненты вектора ) получим выражение

Которое ведет к одному уравнению

и к соответствующему собственному вектору

Значение является произвольным, так как ранг матрицы для собственного значения равен 1. Если использовать другое значение то мы получим

и соответствующий собственный вектор

Эти два собственных вектора могут представлять любой произвольный двумерный вектор.

Упражнения

2.3.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

2.3.2. Для матрицы

найти все собственные значения и собственный вектор, соответствующий собственному значению, равному 1.

Ответ.