10.3. Связь между дискретным и непрерывным разложениями

Обычно приходится заменять теоретические непрерывные передаточные функции на дискретные, используемые в вычислительной практике, поэтому мы исследуем их взаимосвязь. Предположим, что непрерывное разложение задано в виде

где для коэффициентов непрерывного разложения функции используются строчные буквы, в то время как для коэффициентов дискретного разложения будут и далее применяться прописные буквы. Если умножить обе части этого уравнения на и просуммировать, то из-за наложения, указанного в предыдущем разделе, получим выражение

из которого коэффициент определяется как

Для каждого эта формула дает значение вычисленное через точные заданные значения Она представляет обычное наложение в несколько иной форме и позволяет дать другое объяснение эффекта наложения.

Рис. 10.3.1. Наложение

Наложение иллюстрируется на рис. 10.3.1. Аналогичные вычисления при использовании синуса вместо косинуса приводят к формуле

Постоянный член особенно важен, поскольку он показывает связь в частотной области между интегралом от периодической функции и результатом его приближенного вычисления по правилу трапеций

Если коэффициенты малы, то и ошибка будет небольшой.

Таким образом, видна в другом свете роль, которую играет частота свертывания Найквиста; можно поступать так, как-будто имеется непрерывная функция, на процесс дискретизации все равно приведет нас в интервал Найквиста (или в любой другой эквивалентный интервал, который мы пожелаем выбрать).

Упражнение

(см. скан)