5.3. Сглаживание Ланцоша. Сигма-факторы

Корнелиус Ланиош заметил, что пульсации в сумме усеченного ряда имеют период либо первого отброшенного члена, либо последнего удержанного члена. Он доказал, что в любом случае, сглаживая частичную сумму путем интегрирования (усреднения) по этому периоду, можно устранить основные эффекты пульсации.

Применим эту идею к усеченному ряду Фурье в общем виде

В качестве сглаженного значения возьмем среднее значение на интервале длиной с центром в точке (здесь мы принимаем за номер последнего удерживаемого члена, чтобы продемонстрировать исчезновение этого члена, но на практике берется как номер первого отбрасываемого члена). Поэтому сглаженное значение получим как среднее от

В подробной записи получим

Применяя тригонометрические формулы для разности двух синусов и двух косинусов, окончательно получаем

где - так называемые сигма-факторы

Следовательно, сглаженный ряд Фурье есть исходный ряд Фурье с коэффициентами, умноженными на соответствующие сигма-факторы.

Этот результат не является неожиданным; поскольку операция сглаживания — это линейная операция, то возможно появление некоторого вида множителей. Когда сигма-фактор равен нулю и не имеет значения, какой член назван — последний удержанный или первый отброшенный; эффект состоит в том, что член с частотой имеет множитель, равный нулю.

Формула для представляет собой среднее значение от на симметричном интервале относительно точки шириной Можно рассматривать операцию сглаживания как наблюдение исходной функции через узкое просвечивающее прямоугольное окно шириной Функция которую мы увидим, есть средняя интенсивность света от исходной функции Она предполагается более яркой, когда функция больше, и менее яркой, когда эта функция

меньше. Нетрудно заметить, что результирующая функция сглаженная кривая Ланцоша, имеет, как показано на рис. 5.2.1, несколько ослабленные высокочастотные пульсации.

При выборе сглаживающего интервала мы согласовывали его с числом членов, сохраняемых в ряде Фурье, т. е. имели одно и то же в числе членов и в сглаживающем интервале или, что то же самое, в сигма-факторах. Исследование процесса получения сигма-факторов показывает, что если не выбрать эти два числа одинаковыми (или различающимися на 1), то все же будут получены сигма-факторы, связанные с выбираемым сглаживающим интервалом. Исследовав сигма-факторы, можно придти к выводу, что в этой ситуации ряд не обязательно будет заканчиваться с сигма-фактором, имеющим нулевое значение, а может продолжаться с дополнительными ненулевыми сигма-факторами. Сигма-факторы, рассматриваемые как функция от при больше имеют затухающие пульсации с периодом и медленно изменяются по знаку.

В теории рядов Фурье есть и другая формула сглаживания, которая широко используется (главным образом в математических кругах), а именно, усреднение последовательных частичных сумм Этот процесс называется сглаживанием Фейера (а также сглаживанием Чезаро 1). Сглаживание Фейера производит взвешивание коэффициентов ряда множителями

Таким образом, мы имеем сглаженный ряд Фейера

Сглаживание Фейера для прямоугольной импульсной функции также показано на рис. 5.2.1, который подтверждает, что время нарастания при сглаживании Фейера значительно больше, чем при сглаживании Ланцоша. Поэтому сглаживание Фейера редко применяется на практике. В пределе, когда эта кривая обладает интересными математическими свойствами, однако при конечных значениях она приближается к своему предельному значению слишком медленно.

Мы исследовали только одну частную функцию со скачком, но она типична для всех разрывных функций.

Явление Гиббса можно ожидать всякий раз, когда функция имеет разрыв, и в этом случае формулы сглаживания также произведут соответствующее действие.