5.6. Образование нового ряда Фурье. Теоремы свертки

Основной метод нахождения ряда Фурье для заданной функции

состоит в том, чтобы вычислить коэффициенты по интегралам

Эти вычисления можно производить каждый раз или воспользоваться таблицей для наиболее употребительных функций.

Возможно ли из известных (сравнительно простых) разложений вывести другие разложения?

Очевидно, если известны

то известно и

А как выглядит разложение произведения двух функций? Для действительных функций имеем

Подставляя и переставив члены, получим

Следовательно, коэффициент в разложении произведения двух функций будет

Это выражение называется сверткой последовательности с последовательностью Таким образом, чтобы получить коэффициенты для разложения произведения двух функций, нужно вычислить свертки коэффициентов.

Для комплексных функций обычно используют произведение одной функции на комплексно-сопряженную другую.

Свертка, которая является результатом перемножения двух функций, одновременно наталкивает на мысль о нахождении функции, которая соответствует перемножению соответствующих коэффициентов из двух разложений, т. е. функции, которой соответствует ряд

Чтобы найти ее, введем свертку двух периодических функций

которая симметрична относительно двух функций. Вычислим коэффициенты Фурье для этой свертки. Получим (применяя временно обозначение для коэффициентов Фурье)

Поскольку предполагается периодической, то можно сдвинуть интервал интегрирования, переходя от переменной к и при этом убедиться, что второй интеграл есть а первый интеграл, так как не зависит от есть Следовательно, мы показали, что что и можно было ожидать. Из этой формы ряда Фурье следует, что сглаживание Ланцоша свертывает данную функцию с окном непрерывной прямоугольной формы (с единичной площадью) и вызывает в области коэффициентов появления соответствующих умножающих окон, сигма-факторов. Полученный результат есть обобщение известного положения о том, что, благодаря линейности, эффект свертки одной функции с другой заключается в перемножении коэффициентов соответствующих разложений Фурье.

Если в свертке двух последовательностей

предположить, что все равны нулю, за исключением одного, например то сумма превращается в один член, а именно, Вычисляя последовательные значения свертки можно определить по одному все члены Следовательно, свертка с одиночным импульсом, т. е. с указанным рядом имеющим только один ненулевой член, дает импульсную характеристику — просто члены другой последовательности.

Обращаясь к определению нерекурсивного фильтра

отметим, что если использовать импульсную функцию за исключением то будут получены значения являющиеся коэффициентами фильтра по порядку. Здесь импульс на входе вызывает отклик, который определяет коэффициенты фильтра.

Обратно, если известна импульсная характеристика нерекурсивного фильтра, то известны и коэффициенты,

а следовательно, и сам фильтр. Таким образом, импульсная характеристика играет фундаментальную роль в теории.