12.9. Тождество Чебышева

Для того, чтобы выполнить расчет интегратора в разд. 12.10, мы будем использовать тождество

где коэффициентами в разложении по полиномам Чебышева являются функции Бесселя. Поскольку это равенство редко дается в литературе, мы выведем его наряду с некоторыми свойствами функций Бесселя.

Начнем с определения функций Бесселя при помощи «порождающей» функции

Подстановка оставляет левую часть неизменной, и поскольку разложение однозначное, то из этого следует, что

или, когда это необходимо,

Для имеем

и делаем вывод, что

Из выражения

нетрудно увидеть, что функции Бесселя являются четными или нечетными в зависимости от того, будет ли индекс четным или нечетным.

Разлагая в ряд экспоненту порождающей функции

и ранжируя по степеням видим, что

Положим

Тогда

и

И наконец, положим чтобы получить