3.4. Интегрирование. Рекурсивные фильтры

Другой хорошо известной операцией, которая использует линейную комбинацию данных, является численное интегрирование. Читатель, вероятно, знаком с применяемыми для этой цели правилами трапеций, средней точки и формулой Симпсона. Исследуем эти формулы с частотной точки зрения.

По правилу трапеций (считая )

где — значения подынтегральной функции, а значения интеграла (значения площади). Поскольку у присутствует в обеих частях этого уравнения, то, очевидно, что фильтр будет рекурсивным (разд. 1.1). С другой стороны, рассмотренные ранее формулы сглаживания предусматривали нерекурсивные фильтры.

В нашем случае мы предполагаем, что вход имеет вид , поскольку уравнение линейное, то соответствующий выход получается форме (разд. 2.5). Решая уравнения относительно получим

Разделим числитель и знаменатель на и запишем результат, применяя обычные тригонометрические функции:

Точный ответ после интегрирования функции будет, конечно, Теперь возьмем отношение вычисленного значения к точному

При это отношение, очевидно, равно единице и стремится к нулю для частоты Найквиста, которая является естественной границей, поскольку начиная с нее появляется наложение (рис. 3.4.1).

Рис. 3.4.1. Частотная характеристика формул интегрирования

Почему мы берем отношение вычисленного и точного значений вместо простой оценки передаточной функции, как это делалось ранее? Ответ простой: как для сглаживания, так и для фильтрации отношение выхода ко входу представляет собой естественное сравнение для того, чтобы увидеть, насколько хорошо выполняются эти операции. Но в операциях, подобных дифференцированию и интегрированию, сравнивается полученный результат с желаемым и поэтому для оценки качества

таких формул используется отношение вычисленных значений к точным. Ясно, что правую часть отношения можно считать передаточной функцией, которая осуществляет переход (передачу) от точного значения к вычисленному.

Разлагая числитель и знаменатель в степенной ряд, а затем поделив их, получим выражение

которое позволяет судить о форме отношения около

Аналогичный анализ для интегрирования по формуле Симпсона (если считать )

дает

Эта кривая начинается при со значения 1, имеет (в соответствии с предыдущей теоремой разд. 3.3) касательную вплоть до нулевой третьей производной и возрастает до тех пор, пока при знаменатель не станет равным нулю (рис. 3.4.1).

Поскольку такое поведение при является неожиданностью, то как его понимать? Очевидно, формула Симпсона усиливает верхнюю часть интервала Найквиста (более высокие частоты), тогда как правило трапеций подавляет ее. На частоте Найквиста интегрируемая функция может иметь значения и в формуле Симпсона эти значения умножаются на коэффициенты , конечно, все делятся на 3. Рассмотрев произведения, мы увидим, что каждая пара значений: второе и третье четвертое и пятое и т. д. комбинируются так, чтобы дать отрицательное число, поэтому для такой высокочастотной функции интегрированная сумма будет расти линейно. Этот эффект известен в численном анализе, но редко отмечается в учебниках.

Соответствующий эффект для правила трапеций не наблюдается. На частотах, близких к частоте Найквиста, можно видеть, что сильно возросшие значения не

комбинируются так, как это происходит при интегрировании по формуле Симпсона.

Далее просто выпишем формулу средней точки для интегрирования (считая )

В результате подстановки сюда для получаем для а отношение вычисленного значения к точному равно

Значение этого выражения начинается с единицы при и медленно растет с увеличением со. На границе Найквиста имеем значение функции, равное

Оставшаяся кривая на рис. 3.4.1 изображает передаточную функцию при интегрировании по формуле Лео Тика. Эта формула рассчитана на получение передаточной функции, максимально близкой к единице во всей нижней половине интервала Найквиста, и в то же время она содержит только три последовательных члена. Формула имеет вид (при

Вывод этой формулы будет сделан в разд. 12.10.

В итоге, мы показали как выглядят три классических формулы численного интегрирования при их исследовании с частотной точки зрения. Применение естественных в данном случае собственных функций задачи как и ожидалось, по-новому показывает каждую из них. Мотивы, по которым эти формулы подходят для зашумленных данных, интуитивно были поняты еще до перехода к вычислениям на ЭВМ, но они не встречаются в современных учебниках. Ясно, что при наличии шума, в котором обычно содержится значительное количество высоких частот, формула Симпсона более опасна для применения, чем формулы трапеции или средней точки. Но когда в интегрируемой, функции относительно малы высокие частоты, то плоский характер передаточной функции в области низких частот делает формулу Симпсона более предпочтительной. Выбор той или иной формулы, как было показано, очевидным образом

зависит от частотных характеристик интегрируемой функции.

Однако несколько слов предостережения. Фактически невозможно судить о методе вычисления без рассмотрения того, что предстоит делать с результатами. Если, например, необходимо проанализировать интегрируемую функцию по частоте, то особенно важно проверить эффекты метода интегрирования на различных частотах и поставить условия для интерпретации этих эффектов. Как уже отмечалось, правило интегрирования Тика (рис. 3.4.1) было выведено с целью получения как можно большей точности (при заданной основной форме правила) для нижней половины интервала Найквиста, Рисунок показывает (едва заметно), что ошибка на верхней границе полосы, в которой формула должна быть точной, оказывается такой же по величине, как максимальная ошибка в несколько более ранней точке, но другого знака. Следовательно, максимальная ошибка для любой частоты в этом интервале минимизируется. Подробнее данный критерий будет рассмотрен в гл. Цена этой точности в широком диапазоне частот, в частности, заключается в меньшей точности около

Упражнения

(см. скан)