7.6. Гладкие полосовые фильтры

Для распространения изложенных идей на полосовой фильтр нужно только начать с другой исходной функции. Снова потребуем, чтобы на обоих концах полосы пропускания были нули и, в дополнение к этому, чтобы

в ее середине был нуль нечетного порядка. Поэтому начнем с полинома в форме (рис. 7.6.1, а)

где значение пока еще не найдено. Выбор показателей степени ясен, если учесть, что оказывают влияние на выбор положения полосы пропускания, а определяет пологость характеристики в полосе пропускания.

Рис. 7.5.1. Монотонный низкочастотный фильтр

Рис. 7.6.1.

Далее, разложим этот полином, используя сначала биномиальное разложение для среднего члена, чтобы получить полином относительно Очевидно, что для выполнения всех арифметических операций потребуется применить ЭВМ. Каждый коэффициент представляет собой полином от , используя методы, подобные показанным в предыдущем разделе, можно представить каждый коэффициент для как полином от

Интегрирование этого полинома от —1 до покажет, что интеграл обычно не равен нулю при для нашего начального выбора (см. рис. 7.6.1, б). Каждый из коэффициентов при степенях можно вычислить при и тогда будет получен полином относительно с числовыми коэффициентами. Для нахождения простого нуля при и такого, что интеграл будет равен нулю при , можно применить метод бисекции или метод Ньютона. После нахождения этого получим полный

полином, за исключением того, что его еще нужно нормализовать таким образом, чтобы при значении он имел значение 1 (рис. 7.6.1, в).

Если имеется и произведена нормализация, то процесс расчета фильтра остается почти таким же, как и раньше. Преобразование в форму ряда Фурье и затем в окончательный цифровой фильтр состоит из тех же операций, которые использовались ранее. Ясно, что эти расчеты лучше выполнять на ЭВМ и что необходимое программирование будет рекурсивным и непродолжительным. Фактическое расходование машинного времени будет также небольшим.