7.3. Приведение к ряду Фурье
Задача, обсуждаемая в этом разделе, заключается в том, как получить из степенного ряда по 
ряд Фурье по 
Кроме того, желательно иметь
возможность делать это легко на вычислительной машине.
В связи с этим рассмотрим рекурсивный способ преобразования, который сделает программирование более легким.
Пусть степенной ряд относительно 
будет записан в обычной «цепной» форме
Последние два члена внутри круглых скобок
умножим на 
и добавим следующий коэффициент с меньшим индексом. Затем снова умножим на 
и добавим следующий младший коэффициент и т. д.
Первые два члена представлены в форме ряда Фурье и поэтому формируют основу для индукции (рекурсивный процесс). Следовательно, предполагаем, что на каждом этапе имеется ряд Фурье с заданными коэффициентами, и показываем, что следующий этап также будет рядом Фурье. Чтобы показать это, умножим текущий ряд Фурье в индукционном процессе на 
и применим формулу для произведения двух косинусов
Из одного любого коэффициента с индексом больше нуля получаем два члена: у первого частота на единицу выше, а у второго — на единицу ниже и оба имеют множитель 1/2. Постоянный член теперь представляет, конечно, косинусный член с множителем 1. И, наконец, следующий коэффициент 
с меньшим индексом складывается с постоянным членом, который перешел из предыдущих вычислений члена с индексом, равным единице. Все это изображено на рис. 7.3.1, где точки означают коэффициенты членов ряда Фурье для частот, увеличивающихся по направлению вправо, а цифры рядом со стрелками обозначают множители. Если этот процесс повторяется достаточно часто, то быстро будет получен ряд Фурье, который эквивалентен исходному степенному ряду относительно 
. Коэффициенты в
соответствующем комплексном ряду Фурье являются коэффициентами 
искомого фильтра.
Отметим, что этот процесс имеет ряд прекрасных свойств. Первое, он чистый: деление на 2 различных стадиях не приводит к округлению в двоичной арифметике с плавающей запятой и ведет к уменьшению ошибок. Второе, он прост для программирования, не содержит таблиц и мало использует другую арифметику, помимо сложений.
Рис. 7.3.1. Одна ступень преобразования к ряду Фурье
И наконец, этот же самый процесс может быть использован в другой ситуации, поэтому его следует понять. Очевидно, что он зависит от простой тригонометрической формулы для произведения двух косинусов и не требует ничего за пределами организации вычислений в регулярной форме.
Упражнения
(см. скан)
