10.2. Ортогональность

Наше рассмотрение ограничивается случаем четного числа точек, а соответствующий случай нечетного числа точек оставляется читателю, если он когда-либо столкнется с подобной ситуацией; имеются только тривиальные различия между этими двумя случаями. Пусть имеются точек

Используя в качестве индекса, эти числа можно записать

Проще всего начать с ортогональности комплексных экспонент. Поступив таким образом, рассмотрим очень простую геометрическую прогрессию (используя 2N точек )

Эта геометрическая прогрессия имеет отношение

и сумму

Ситуация возникает только тогда, когда Эти значения как будет показано, ведут к наложению, которое, как известно, должно появиться в результате равномерной дискретизации функции.

От этого простого суммирования перейдем к системе функций (k — целое)

и докажем, что они ортогональны. «Ортогональность» означает, что суммирование по множеству точек дискретизации произведения функции из системы и комплексно-сопряженной с ней функции дает нуль, за исключением того случая, когда в качестве второй функции используется та же самая функция или эквивалентная наложенная функция. Поэтому необходимо доказать, что значение

что сразу же достигается, если записать произведение экспонент как одну экспоненту и применить предыдущий результат при .

Для того чтобы получить «действительные функции» синуса и косинуса, используем равенство Эйлера

Записав сумму произведений двух тригонометрических функций, получим сумму и разность экспонент, если эти две функции являются обе синусами или косинусами. Для косинусов имеем (отметим наложение)

Аналогично для синусов

Легко показать, что в случае произведения синуса и косинуса всегда будет нуль.

Для ограниченной системы функций

одновременно можно применить только одно из условий ненулевой суммы, что дает ортогональность функций Фурье в дискретных равноотстоящих точках Эта ортогональность такая же, как и на непрерывном интервале, но, конечно, с различными нормирующими множителями. Таким образом, мы пришли к разложению Фурье произвольной функции определенной на дискретном множестве из точек

Здесь прописные буквы используются для коэффициентов в дискретном разложении. Отметим, что первый и последний косинусные члены имеют дополнительный множитель Из свойства ортогональности имеем

Функция часто задается в точках, включая оба конца интервала, однако здесь имеется (из-за периодичности) только интервалов. В таких случаях, поскольку предполагается, что функция периодическая, обычно принимают в качестве правильного концевого значения среднее двух концевых точек

Конечно, если функция периодическая, то оба значения на концах одинаковые и это просто одно из них. Эффект такого усреднения состоит в некотором расширении основных формул для коэффициентов без изменения

Мы видим, что формула суммирования для в дискретном случае соответствует правилу трапеций для интегрирования. Если бы применялась формула средней точки, а не правило трапеций для аппроксимации интеграла, то указанные выше аргументы привели бы к соответствующему ряду соотношений ортогональности в этих средних точках интервалов. Для этих точек косинусный член наивысшей частоты будет тождественно равен нулю, поэтому необходимо взамен него включить в основную систему функций соответствующий синусный член.

Упражнения

(см. скан)