4.4. Нечетные и четные функции

Нечетные и четные функции встречаются так часто, что их ряды Фурье заслуживают особого рассмотрения. Тот факт, что произвольная функция может быть записана как сумма нечетной и четной функций

делает это рассмотрение особенно важным.

Для нечетной функции видно, что для всех k, тогда как

Дифференцирующие фильтры из разд. 3.5 представляли собой типичные нечетные функции.

Для четной функции имеем

а все Типовой сглаживающий фильтр (разд. 3.2,

3.3, 3.6 и 3.7) представляет собой четную функцию.

Используя дополнительно соответствующую симметрию относительно можно получить ряд Фурье, содержащий коэффициенты только с нечетными индексами или только с четными индексами. Другие регулярные схемы ненулевых коэффициентов могут быть также получены при соответствующем введении дополнительной нечетной и четной симметрии в определение функции.

Упражнения

(см. скан)