6.5. Проверка дифференцирующего фильтра на примере обработки данных

Для проверки действия дифференцирующего фильтра применим его к некоторым искусственным данным. Сначала возьмем прямую линию

производная которой равна 1/50. Чтобы вычислить отклик фильтра на этот входной сигнал, сначала отметим, что поскольку то сумма коэффициентов равна нулю. Поэтому можно добавить к данным любую константу, и это не скажется на ответе. Вместо можно взять прямую линию и проверить фильтр в начале отсчета данных, потому что результат

будет таким же, как и в любом другом месте. При этом на выходе будем иметь

Без сигма-факторов и при для значения суммы получим число а для число (здесь добавлен коэффициент 1/50, чтобы было видно отличие наклона от исходной прямой линии и чтобы подчеркнуть, что идеальное значение числителя равно единице). Выбирая мы учитывали возможность взаимодействия гармоник ряда Фурье при границе полосы на частоте среза 2/10.

Неспособность фильтра дать величину 1/50 непосредственно следует из факта, что при наклон передаточной функции не является постоянным вблизи единицы (самая верхняя кривая на рис. 6.4.1 и 6.4.2), так как если бы это имело место, то вычисленные суммы были бы равны единице.

Если используются сигма-факторы Ланцоша, то, как показано на рисунках (нижняя кривая) будут получены значительно лучшие результаты. При этом начальный наклон составляет для для . Прямая линия показывает идеальный наклон.

Однако напомним, что мы рассчитывали фильтр для борьбы с шумом. Поэтому проведем дальнейшие эксперименты. Добавим случайный шум в двух формах: первая

и вторая

На рис. показаны результаты этих экспериментов; на них нанесены: а у исходные входные данные, направленные наклонно вверх, б) производная, увеличенная в 10 раз, так что легко видны флуктуации и в) результат применения сигма-факторов, причем чтобы эти точки лучше было видно, они сдвинуты вверх добавлением к ним

Приведенный ряд экспериментов показывает, что когда хотят, чтобы фильтр выполнял несколько функций (например, дифференцирование и подавление значительного по величине шума), он идет на компромисс и не делает ни то, ни другое достаточно хорошо. Эксперименты также показывают, что даже простые фильтры можно сделать так, чтобы они выполняли комплексные задачи. Поведение относительно прямой линии не есть

Рис. 6.5.1. Шум первого вида, — производная, увеличенная в с сигма-фактором; 2 — исходные данные; 3 — производная, увеличенная в 10 раз

Рис. 6.5.2. Шум второго вида, — производная, увеличенная в 10 раз с сигма-фактором; 2 — исходные данные; -производная, увеличенная в 10 раз

Рис. 6.5.3. Шум первого вида, : 1 — производная, увеличенная в 10 раз с сигма-фактором; 2 — исходные данные; 3 — производная, увеличенная в 10 раз

Рис. 6.5.4. Шум второго вида, : 1 — производная, увеличенная в 10 раз, с сигма-фактором; исходные данные, 3 — производная, увеличенная в раз

единственный расчетный критерий; лучше фильтр рассчитывал для работы на чистых частотах и суммах частот, и он сработает так, как ожидалось, потому что из передаточной функции можно точно установить, что происходит с амплитудой каждой частоты.