12.5. Фильтры Чебышева типа 1

Фильтры Чебышева типа 1 допускают пульсации в полосе пропускания (рис. 12.5.1). Чтобы познакомиться с этим методом расчета, начнем (при полиномиальной переменной с выражения

где - полином Чебышева порядка Сразу же видно, что пока мы имеем

а при имеем равповолповый полином Чебышева, начинающий спадать за пределами

С другой стороны, то, что полипом Чебышева на интернале является наименьшим из всех полиномов той же степени и с тем же коэффициентом при старшем члене, означает, что при заданной границе он растет наиболее быстро с внешней стороны (с уверенностью можно отметить этот факт, если отойти достаточно далеко от он более или менее очевиден и вблизи 1).

Рис. 12.5.1. Фильтр Чебышева типа 1

Вспомним, что

Прямая подстановка сразу же дает

Таким образом, аналитическое представление полиномов Чебышева по всем значениям х есть

а когда то можно ожидать быстрый рост в что обеспечивает достаточно узкую переходную полосу от «пропускания» до «подавления».

Возвращаясь к передаточной функции, видим, что на границе полосы пропускания, имеем следовательно, условие на концах полосы пропускания выполняется.

Условие на конце полосы подавления, где есть

или

Следовательно, получаем «расчетный параметр»

Имеется альтернативное представление Если то

Этот результат можно переписать в виде

или

где использован знак + для Таким образом,

Как и в фильтрах Баттерворта, для того чтобы получить передаточную функцию из необходимо найти нули знаменателя

или

Пусть тогда

Чтобы найти значение от мнимого числа, положим

Приравняв действительную и мнимую части, получим два уравнения

Первое из этих двух уравнений, поскольку действительное), дает

и, следовательно,

Второе уравнение принимает вид

Этот результат определяет Поэтому имеем

и получаем искомые нули. Имеются две последовательности но фактически появляется только половина точек (так как имеет противоположные знаки, когда уменьшается от или увеличивается от нуля). Поэтому исследование можно ограничить одним скажем

Следующий этап состоит в выборе нулей в верхней полуплоскости. При нашем выборе второй член имеет положительный знак и мы ограничимся значениями для того, чтобы нули попали в верхнюю полуплоскость.

Нули должны быть разделены на пары из-за симметричного положения относительно середины, что соответствует действительным квадратным уравнениям, из которых они получены. В конце, переходя к переменной получаем произведение членоввторого порядна в числителе и знаменателе и, возможно, один член первого порядка. И снова эти коэффициенты отождествляются с соответствующим цифровым фильтром второго порядка и применяется каскадное соединение фильтров для получения требуемой устойчивой передаточной функции.