12.10. Пример расчета интегратора
Здесь мы применим тождество из разд. 12.9 к частному примеру, формуле интегрирования Тика из. разд. 3.4. Следует отметить, что Тик получил свою формулу, вычисляя и исследуя передаточную функцию (частотную характеристику) семейства формул до тех 
пока об не нашел ту функцию, которую хотел. Этот метод (приведенный в разд. 12.8) не следует рассматривать как достаточно простой для применения. Просто мы используем эту задачу для иллюстрации метода расчета.
Функция, которая была нужна Тику, представляет собой интеграл 
от измеренных данных 
Он наложил два требования на общую форму рекурсивного фильтра
Ясно, что 
представляет собой обычные 
подынтегральные значения. Во-первых, он потребовал, чтобы 
точно интегрировалось. Это означает, что
Во-вторых, он хотел, чтобы кривая ошибок на любой частоте была чебышевской в нижней половине интервала Найквиста. Симметричная форма этого рекурсивного фильтра означает, что он не имеет фазовых ошибок. Предположим, как обычно, что мы имеем
осуществляем дискретизацию с единичным отсчетным интервалом. Для того чтобы получить разложение по полиномам Чебышева, используем тождество разд. 10.9. Для этого необходимо идентифицировать переменные 
и 
в равенстве
Пусть условие Чебышева применено к части X интервала Найквиста (в конце для получения формулы Тика мы положим 
Поскольку 
соответствует 
то должно быть справедливо
и,следовательно,
Подставив это выражение в формулу интегрирования солучим
Из-за четности и нечетности функций Бесселя все коэффициенты 
исчезают.
Коэффициент 
будет равен нулю, если (отбрасывая множитель 
«или
Использование 
и приведенного ранее условия 2а 
дает
Таблица 12.10.1 (см. скан)
По этой формуле легко получить значения, приведенные в табл. 12.10.1.
Ясно, что 
приводит к формуле Симпсона. Эта таблица обеспечивает удобный набор формул интегрирования, в которых максимальная ошибка в самой нижней 
части интервала Найквиста минимальна.
Результат при 
очень близок к результату Тика 
и отличается от него, потому что наш коэффициент ошибки похож на 
но он включает более высокие члены 
в чебышевском разложении ошибки приближения двух сторон, тогда как. у Тика он был тщательно выравнен путем повторных вычислений кривой ошибок.
Приведенное рассмотрение иллюстрирует один метод расчета интеграторов. Существуют и другие методы. Ясно, что рекурсивные фильтры в задачах, подобных интегрированию, необходимы для «запоминания» начальных условий.
