4.8. Сходимость в точке разрыва

В точке разрыва т. е. в конце некоторого используемого интервала, нет соответствующей производной и предыдущее доказательство нарушается.

Первый очевидный шаг состоит в том, чтобы разбить интеграл на две части, поскольку функция различна по обе стороны от точки . В результате сдвига системы координат точка окажется теперь точкой 0. Можно записать

В первом интеграле заменим и на —и и затем объединим оба интеграла

В предыдущем доказательстве, которое относилось к точке непрерывности, мы вычитали Что же мы должны вычитать теперь? Ясно, что необходимо нечто пригодное для обеих половин, а именно

(знаки — означают предел справа и слева соответственно). Это среднее двух граничных значений (множитель появился, потому что диапазон интегрирования теперь вдвое меньше то который был ранее). Используя это значение, получаем выражение для разности

которое стремится к нулю, как и ранее (хотя необходимы дополнительные соображения для доказательства того, что вывод может быть соответствующим образом модифицирован для полуинтервала). Таким образом, имеем

Теорема.

В точке разрыва формальный ряд Фурье сходится к среднему двух граничных значений функции [в том случае, если функция интегрируема].

Мы уже видели этот эффект на двух примерах разд. 4.3.

Вероятно, стоит обратить внимание на то, что сходимость ряда Фурье в точке является локальным свойством, в то время как скорость сходимости есть глобальное свойство.

Упражнение

(см. скан)