6.4. Дифференцирующий фильтр
В качестве другой иллюстрации общего метода расчета фильтров выясним, как этот общий метод приближения заданной передаточной функции рядом Фурье применяется к задаче расчета фильтра, производящего
оценку производной 
некоторых данных. Из выражения для производной
сразу же видно, что необходимо аппроксимировать функцию 
Если выбрать коэффициенты фильтра, имеющие нечетную симметрию, т. е. 
(для всех 
и поскольку
то будем иметь синусный ряд с чисто мнимыми коэффициентами, как это и требуется. Следовательно, цифровой фильтр
приводит к синусному ряду
При исследовании такого фильтра видно, что он фактически представляет собой линейную комбинацию разностей симметрично расположенных значений функции (оценок производной) 
которую мы и ожидали, поскольку она была отправным моментом. Кроме того, очевидно, что процесс дифференцирования усиливает высокие частоты значительно больше, чем низкие. Высокая частота часто является шумом, а это значит, что фильтр, который проектируется, должен, вероятно, отсекать частоты выше некоторого значения 
Таким образом, будем строить синусный ряд Фурье для аппроксимации функции
Вычислим коэффициенты, используя обычные формулы
Для алгебраической проверки, 
и получим выражение
которое совпадает с результатом разд. 4.3. Следовательно, мы имеем неограниченной длины фильтр, требующий усечения, которое вызывает эффект Гиббса.
Рис. 6.4.1. Дифференциатор с N = 5 (см. скан)
В данном случае применим просто прямоугольное окно Ланцоша, что приведет к соответствующим сигма-факторам в разложении. С целью иллюстрации выберем 
Для значений 
имеем соответствующие кривые, показанные на рис. 6.4.1 и 6.4.2. Идеальной является прямая линия; кривая с наибольшим числом колебаний соответствует усеченному ряду Фурье, который вносит большие ошибки вблизи 
нижняя кривая представляет окончательный сглаживающий фильтр. Дополнительные сведения по дифференцирующим фильтрам можно найти в [10, с. 218—285].
(кликните для просмотра скана)
