7.2. Гладкие фильтры

Окинем снова мысленным взором тему фильтрации. Пусть дан симметричный нерекурсивный цифровой фильтр, который обрабатывает равномерно распределенные данные от некоторого источника; вычислим с помощью формулы

Собственными функциями линейных задач являются комплексные экспоненты Использование собственных функций приводит к передаточной функции (собственным значениям)

Докажем хорошо известный факт, что может быть представлен как полином степени относительно Намнем с очевидного равенства

Далее запишем это уравнение в комплексной форме

произведем биномиальное разложение и возьмем от него действительную часть

где суммирование, конечно, обрывается, когда превысит потому что тогда биномиальные коэффициенты станут равны нулю. Поскольку

то мы имеем желаемый полином по степеням Возвращаясь к передаточной функции

можно использовать предыдущий результат, чтобы получить при соответствующих выражение

Теперь можно сделать преобразование независимой переменной Когда изменяется от 0 до изменяется от 1 до —1, и мы получим как эквивалент передаточной функции полином по степеням

Однако отметим, что это преобразование представляет нелинейное растяжение оси частот. Работая с переменной которая соответствует будем представлять передаточную функцию в виде степеней а не косинусов кратных углов, как это делалось до сих пор. Исходный низкочастотный фильтр из-за реверсирования оси абсцисс при преобразовании теперь выглядит как высокочастотный фильтр относительно переменной

Чтобы начать расчет, выберем функцию

с в качестве параметров (рис. 7.2.1). Ясно, что эта функция имеет нуль кратности при и нуль кратности при Интегрирование этой функции по дает произвольную постоянную интегрирования, которую зафиксируем таким образом, чтобы при интегрируемая функция равнялась нулю. Далее, вычислим значение функции при и поделим на это число (нормализуем) для того, чтобы окончательная функция имела значение 1 при (рис. 7.2.1)

Тем, кто знаком со специальными функциями, нетрудно узнать в этом выражении замаскированную неполную бета-функцию; нормализующий множитель есть соответствующая полная бета-функция. После интегрирования получаем полином по (нашу передаточную функцию),

который имеет нуль кратности при и значение 1 при наряду с производными, равными нулю, при Причина, по которой порядок наивысшей обращающейся в нуль производной увеличивается на 1, в том, что процесс интегрирования увеличивает степень касания при начальном и конечном значениях.

Рис. 7.2.1.

Эта функция от имеет коэффициенты в передаточной функции (не путать их с коэффициентами Фурье и простая подстановка приведет нас обратно к частотной переменной. Чтобы выполнить это преобразование, запишем

Знаменатель представляет константу, поэтому нам необходимо изучить только поведение числителя. Произведем преобразования в интеграле, подставив

Используем формулы половинных углов

Поскольку вблизи нуля синусной функции примерно равен то наблюдается удвоение величины порядка касания на обоих концах интервала благодаря «растяжению» оси, вызванному преобразованием.

Для того, чтобы получить коэффициенты цифрового фильтра которые мы начинали определять, простой метод, который будет развит в следующем разделе, позволит сделать обратное преобразование к представлению передаточной функции рядом Фурье.

Возвратясь к задаче расчета, приравняем нулю и найдем, что точка перегиба функции в t области имеет место в точке Пропорциональное увеличение обоих параметров и приводит к сужению переходной зоны в

Первоначальная кривая представляет собой полином от со всеми своими свойствами, заданными на концах интервала, поэтому у обеих кривых нет «пульсаций» между концевыми точками. Обратное преобразование к переменной является монотонным и только растягивает ось независимой переменной, а это означает, что оно не может внести ни максимума, ни минимума. Пологий характер косинусной кривой этого преобразования удваивает порядок касания на концах.

Нам нужно еще выполнить обратный переход к обозначениям ряда Фурье, но этот шаг представляет собой только изменение обозначения и не влияет на форму кривой. Таким образом, мы получаем гладкую передаточную функцию. Прямой расчетный метод, использующий члены ряда Фурье в форме может приводить к появлению пульсаций в передаточной функции. Чтобы избавиться от них, необходимо сделать приближение на концах интервала очень хорошим, а остальной части кривой дать спадать так, как это возможно. При этом положение частоты среза фильтра определяется только степенью касания на концах.

Упражнения

(см. скан)