5.8. Модифицированный ряд Фурье

Вместо усечения ряда Фурье путем умножения его коэффициентов на числа

можно использовать последовательность, имеющую конечные значения, равные 1/2:

Для этого модифицированного прямоугольного окна мы вместо прежнего получили уменьшенное на

Поэтому новое будет

Раскрывая первый член, получаем

или

При сравнении этого выражения (рис. 5.7.1) с выражением для прежнего немодифицированного прямоугольного окна видно небольшое изменение в высокочастотном члене и, кроме того, появление дополнительного множителя Этот дополнительный множитель начинается со значения 1 при и плавно уменьшается до 0 при (на этой частоте происходит перегиб спектра из-за наложения). Поэтому такое свертывающее окно действует на концах существенно меньше и таким образом во многих случаях будет давать несколько лучшие результаты. Одиако, воздействуя на соответствующий выброс для оно окажется

таким же; это следствие того, что ядра почти одинаковы в центре, но существенно различаются около концов.

В соответствии с теорией сходимости ряда Фурье в точке разрыва не является неожиданностью то, что модифицированное прямоугольное окно может дать лучшие результаты. Но это только повышает интерес к основному вопросу, который будет подробно рассматриваться в дальнейшем, о том, как поступать с конечным куском неограниченной записи данных. Ясно, что прямоугольное окно обладает плохими свойствами, но даже простейшая его модификация уже приводит к некоторому улучшению.