9.3. Окно Кайзера

Что требуется от окна? Нам хотелось бы, чтобы и окно, и его преобразование были бы узкими. Но в действительности такая ситуация невозможна. На какой компромисс можно пойти? Известно, что в области непрерывной переменной вытянутые сфероидальные

функции в некотором смысле максимально ограничены и повремени, и по частоте. Но мы находимся в дискретной области коэффициентов Фурье и знаем, что имеется различие между этой и непрерывной областью. Аргументируя тем, что различие между этими двумя случаями практически невелико и что для выполнения задачи необходима только хорошая аппроксимация, Дж. Ф. Кайзер предложил использовать в качестве весов при коэффициентах Фурье вместо сигма-факторов Ланцоша, функцию

где

Отметим, что веса Кайзера имеют сходство с приподнятым косинусом на подставке Хемминга, поскольку на концах для ненулевых членов имеется значение в то время как в середине значение Таким образом, параметр а определяет высоту подставки.

Веса Кайзера содержат два параметра: являющийся половиной ширины окна (в котором удерживается комплексных коэффициентов Фурье), и а, определяющий «форму» окна, и в частности, величину пульсаций.

Можно показать, что преобразование от функции рассматриваемой теперь как непрерывная функция, есть

где

Отметим, что эта функция есть когда но для она становится

и является синусоидальной с затухающей амплитудой (из-за возрастания знаменателя) приблизительно как (рис. 9.3.1).

Рис. 9.3.1. Окно Кайзера

Рис. 9.3.2. Идеальный фильтр

В области преобразования свертывается с идеальным фильтром прямоугольной формы; следовательно, это свертка преобразования образующая пульсации в частотной области. Максимально допустимая величина пульсаций в заграждающей и пропускающей полосах обозначается

Численные значения этой свертки были найдены Кайзером. В табл. 9.3.1 приведены значения величины а, связанной с максимальным выбросом, как функции затухания А (в децибелах); подробное объяснение этих символов будет дано в следующем примере. Отметим, для будущих ссылок, что для имеем чистый случай Гиббса, вообще без какого-либо окна, поскольку Значение соответствует окну Хемминга, в то время как — окну Блекмана [3, с. 98]. В третьем столбце таблицы указывается ширина окна

Таблица 9.3.1. Эффективность окна для равномерно распределенных значений затухания (см. скан)

Прежде чем окунуться в детали получения формул, пройдемся сначала по этапам расчета фильтра.

Начнем с эскиза расчета идеального фильтра (рис. 9.3.2), который мы хотели бы иметь. На рисунке изображены приемлемая ширина переходной полосы (полос) и 6, соответствующее половине размаха пульсаций, которые можно допустить.

Далее, вычислим затухание А в дБ

Рис. 9.3.3. а в зависимости от затухания

Из затухания Л найдем а для формирования окна [потому что хвосты образуют пульсации в свертке]. Для этого используем эмпирическую формулу, которую Кайзер вывел, подбирая кривую для табл. 9.3.1

График этой функции показан на рис. 9.3.3. На этом рисунке видно, что величина выброса Гиббса 8,9% (затухание 21 дБ) соответствует значению

И наконец, число членов ряда которые удерживаются, даются формулой для

Эта формула показывает, что обратно пропорционально ширине переходной полосы Затухание А зависит от логарифма высоты пульсаций , поэтому значительно легче при выборе числа членов в окончательном

фильтре снизить величину пульсаций, чем cyзить переходную полосу. Таким образом, мы нашли для применения окон при аппроксимации исходного ряда Фурье.