6.6. Новые фильтры из старых фильтров. Обострение характеристики фильтра

Многим изучающим теорию фильтров, может легко придти на ум, что если применение низкочастотного (или высокочастотного или даже полосового) фильтра это хорошо, то обработка данных тем же фильтром дважды, возможно, может оказаться еще лучше. Как будет видно из дальнейшего, такой процесс будет:

1) приблизительно удваивать ошибки в полосе пропускания,

2) возводить в квадрат ошибки в полосе непропускания,

3) сохранять те же переходные полосы,

4) приблизительно удваивать длину эквивалентного фильтра (и, следовательно, потери данных на каждом конце массива).

Конечно, эквивалентный единственный фильтр можно получить путем свертывания последовательности коэффициентов фильтра с самой собой.

Рассмотрим фильтрацию последовательности чтобы получить последовательность Обозначим эту операцию как . Предположим, что (тождественное равенство) обозначает операцию Тогда передаточная функция для I есть 1, в то время как обычно мы используем

В «Исследовательском анализе данных» Дж. У. Тьюки [19, гл. 16] предложил пропустить данные через фильтр, взять разности

[где Н — операция применения фильтра с передаточной функцией ], добавить их к исходному сигналу и затем сумму снова пропустить через фильтр. В результате получается операция

Это операторное уравнение означает, что каждое выходное значение фильтра Н вычитается из и разность затем снова обрабатывается фильтром Н. Данный процесс Тьюки назвал «удвоением». Им также предложены дальнейшие новые разработки этой идеи, но здесь они не будут обсуждаться.

Рис. 6.6.1. Функция амплитудных преобразований

Рассмотрим процесс более подробно. Обозначим исходный фильтр , а результирующий фильтр после всей обработки Теперь построим график амплитудного изменения функции в зависимости от (рис. 6.6.1). Из него видно, что когда имеет значения близкие к единице, имеет значения значительно более близкие к единице, но когда близка к нулю, примерно в два раза дальше от нуля. Таким образом, отклонения внутри полосы (полос) пропускания возводятся примерно в квадрат, в то время как отклонения внутри полосы (полос) непропускания почти удваиваются.

С другой стороны, противоположное справедливо для двойного применения одного и того же фильтра

Здесь имеется непропускающая часть, в которой отклонения возводятся в квадрат, и пропускающая часть, в которой они удваиваются (рис. 6.6.1).

Указанные два частных случая сразу же подсказывают следующий подход, который предусматривает (приблизительно) возведение в квадрат малых отклонений как в полосе пропускания, так и в полосе непропускания. Мы хотим, чтобы кривая изменения амплитуды касалась горизонтали как в нуле, так и в единице. Полином, обладающий этим свойством, будет кубической параболой вида

Применяя поставленные условия для этой функции на обоих концах, найдем

Следовательно, необходимо использовать

Три прохода через один и тот же фильтр дают в результате сильно обостряющий фильтр. Небольшие отклонения от нуля и единицы возводятся в квадрат, а ширина переходной полосы (полос) остается той же самой. Эта ситуация проявляется в низкочастотных, высокочастотных и полосовых фильтрах любой сложности.

Поэтому если имеется программа, которая достаточно хорошо выполняет задачу некоторой фильтрации и обращается к подпрограммам для а) одноразовой обработки сигнала, б) удвоения выходного сигнала, в) вычитания каждого значения из , наконец, г) пропускания этой разности через фильтр дважды, то она даст значительно обостренный фильтр с эффективной длиной фильтра примерно в три раза больше. Конечно, соответствующим свертыванием коэффициентов исходного фильтра можно создать эквивалентный фильтр и затем обрабатывать сигнал только однажды. На рис. 6.6.1 показана функция амплитудного преобразования. Отметим, что для отрицательных значений и для значений больше единицы Явых принимает значения Поэтому этот метод эффективен для достаточно хороших фильтров. Но также отметим, что плохие фильтры можно сделать еще хуже, поскольку при либо

рассмотренный метод дает с той же величиной отклонения, а вне этого диапазона выходные значения хуже, чем значения на входе.

Изучение рис. 6.6.2 показывает, что плохой фильтр (сглаживание тройками, разд. 3.2) делается хуже в некоторых местах при обострении. На рис. 6.6.3 видно небольшое улучшение для сглаживания пятерками.

Рис. 6.6.2. Сглаживание тройками и с обострением

Кроме того, рис. 6.6.4 показывает, что сглаживание одновременно тройками и пятерками дает хороший фильтр и что «обостроение» значительно улучшает этот фильтр. Сглаживание одновременно тройками и пятерками сводится к применению фильтра, который определяется сверткой последовательности из трех единиц с последовательностью из пяти единиц (все они поделены на ), т. е. фильтра 1/15 [1, 2, 3, 3, 3, 2, 1].

В гл. 8 будет показано, что для достаточно хороших фильтров можно рассчитать один фильтр с примерно двойной длиной по отношению к исходному фильтру, который имеет качество указанной комбинации. Эта процедура, конечно, потребует полного пересчета фильтра, так же как и разработки дополнительной программы. Кроме того, если исходный фильтр был выполнен в виде интегральной схемы на одном кристалле, то соответствующее использование трех таких схем, вероятно, было бы дешевле, чем пересчет и конструирование новой схемы. Во всяком случае идея процесса амплитудного

преобразований и соответствующей ее описание освещают по-новому важную область применения комбинаций из одинаковых или даже различных фильтров.

Рис. 6.6.3. Сглаживание пятерками и с обострением (см. скан)

Рис. 6.6.4. Сглаживание тройками и пятерками и с обострением (см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)