Глава 4. РЯД ФУРЬЕ. НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙ

4.1. Потребность в теории

В предыдущей главе было показано, что передаточная функция типового цифрового фильтра имеет вид суммы косинусов различных целочисленных частот (изредка могут быть синусы). Нетрудно видеть, что если вычисленные выходные значения х относятся к средним точкам между отсчетами, то для нерекурсивных фильтров передаточные функции были суммой частот, равных половине нечетных чисел (см. разд. 3.7). Мы эту тему продолжим дальше, но только в упражнениях (например, см. упражнение 4.4.3).

Рассматривались фильтры трех типов. Во-первых, фильтры, которые идеально обеспечивали либо 0, либо 1 в различных местах интервала Найквиста: 0 на тех частотах сигнала, которые нужно было подавить, и 1 на частотах сигнала, которые нужно было пропустить. Особый частный случай представлял айтишумовой фильтр, пропускающий обычно низкие частоты и ослабляющий высокие, с частотой среза, зависящей от ширины полосы частот сигнала. Во-вторых, рассматривались дифференциаторы, в которых было желательно идеально аппроксимировать функцию и которые оценивались по отношению вычисленного значения к точному, а не просто по выходному сигналу фильтра. И наконец, рассматривались интеграторы, в которых аппроксимировалась функция и для их оценки опять применялись отношения. Ясно, что могут быть фильтры и других типов, поэтому важно уметь оперировать с любой разумной формой передаточной функции.

Чтобы проектировать фильтры, а не только оценивать их, необходимо осуществить переход непосредственно от предполагаемой передаточной функции к ее разложению на составляющие тригонометрические функции. После этого будет легко перейти к реальным коэффициентам цифрового фильтра. Следовательно, основой этого процесса проектирования является разложение произвольной функции на составляющие тригонометрические функции, что и составляет предмет теории рядов Фурье, излагаемой в настоящей и следующей главах.

Взаимосвязь формальной математики с реальным миром неясна. По-видимому, в ранней истории математики абстракции чисел, дробей, точек, линий и плоскостей дорольно хорошо следовали из

опыта в физическом мире. Однако многое из современной математики, кажется, имеет источники, скорее связанные с внутренними потребностями математики и с эстетикой, чем с нуждами физического мира. Поскольку нас интересует, главным образом, применение математических соотношений, то мы можем позволить себе относиться не слишком серьезно к математической строгости. Тех, кто верит, что математическая строгость оправдывает применение математики в приложениях, отсылаем для подтверждения этого к Лайтхиллу [13] и Папулису [16], а тех, кто верит, что имеется практическая польза, оправдывающая математику, отсылаем к оставшейся части этой книги. Мы исходим из того положения, что полезные математические трактовки могут быть математически оправданы, даже если для этого необходимо изменять классические определения и постулаты математики (напомним, что для того чтобы оправдать широкое применение дельта-функции Дирака, потребовался недавний переход от «функции» к «обобщенной функции»). Кроме того, поскольку нас интересует «анатомия» математических соотношений, то мы будем игнорировать многие «па-талогические» случаи в математике. Тот факт, что мы имеем дело с отсчетами физической функции, означает, что мы пытаемся понять практически осмысленную ситуацию.

Короче говоря, оправдание различных математических моделей и их строгости для наших целей основывается скорее на их полезности в реальном мире, чем на внутренней эстетике математических соотношений.