4.7. Сходимость в точке непрерывности

В этом разделе рассмотрим сходимость формального ряда Фурье. Конкретно, зададимся вопросом: сходится ли ряд в точке внутри одного из интервалов

и если сходится, то приближается ли он к функции в точке непрерывности? В следующем разделе будет обсуждаться сходимость в точках разрыва.

Для суммы частот вплоть до имеем частичную сумму

где коэффициенты Фурье, конечно, определяются выражениями

Переменная интегрирования использована здесь для того, чтобы избежать путаницы. Подставляя коэффициенты и в частичную сумму и меняя местами операции конечного суммирования и интегрирования, получаем

или

Для простоты предположим, что -периодическая функция, следовательно, приняв сдвинем систему координат и расположение точки (где проверяется вопрос сходимости) в середину интервала интегрирования относительно переменной и. Результатом будет

Чтобы выполнить суммирование в квадратных скобках,

умножим это выражение на , применив элементарные тригонометрические преобразования, получим

После сокращения слагаемых остается только последнее из них, и мы имеем для суммы косинусов

Следовательно, частичная сумма ряда Фурье есть

Для доказательства сходимости частичных сумм к функции нам необходимо иметь выражение для разности Чтобы получить его, отметим, что интегрирование обоих выражений для от до дает

Умножая на и используя тот факт, что интегрирование выполняется по и, получим

Вычитание этого результата из формулы для частичной суммы дает необходимое выражение

Для доказательства сходимости частичной суммы в точке необходимо показать, что эта разность стремится к нулю при увеличении Чтобы это сделать, просто введем множитель и в числитель и знаменатель и затем преобразуем выражение

В такой форме выражение в первых квадратных скобках стремится к производной от когда и стремится к нулю. Так что этот член не вызывает затруднений. Знаменатель во вторых квадратных скобках имеет предел 1, когда и стремится к нулю, и хорошо ведет себя во всем диапазоне интегрирования. Следовательно, функция

хорошо ведет себя, и если она интегрируема в квадрате, то можно применить сделанное ранее заключение к интегралу

Очевидно, когда стремится к бесконечное разность между частичной суммой и функцией стреми к нулю в любой точке, где существует с обеих сторон производная. Следовательно, имеется сходимость к функции.

Теорема.

Формальный ряд Фурье сходится к функции в точке, существует производная [при условии, что функция интегрируема].