5.7. Еще о явлении Гиббса
Используя вторую форму теоремы свертки, можно увидеть явление Гиббса в другом свете. Для функции, заданной в виде ряда Фурье
процесс усечения этого ряда до
есть то же самое, что и перемножение коэффициентов 
на числа 
значений, равных 
или
Какая функция 
имеет эти 
ненулевых коэффициентов 
Очевидно,
В разд. 3.2 уже суммировалась эта геометрическая про грессия
Для больших 
это быстро колеблющаяся функция с максимальным значением 
при 
резко спадающая по амплитуде, поскольку знаменатель растет быстрее; см. рис. 5.7.1 для случая 
(немодифициро-ванное прямоугольное окно).
Таким образом, усеченный ряд Фурье для 
эквивалентен (по второй теореме свертки) свертыванию
данной функции 
с функцией
Как показано на рис. 5.7.2, в частном случае прямоугольного импульса. 
когда колебания 
попадают
Рис. 5.7.1. Сравнение частотной характеристики трех функций окиа с 5 членами
Рис. 5.7.2. Явление Гиббса
в область прямоугольного импульса, свертка (которая представляет собой интеграл от произведения функций) будет точно воспроизводить колебания из-за явления Гиббса. Это по-новому объясняет причину возникновения явления Гиббса.
