Глава 11. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

11.1. Почему нужны рекурсивные фильтры?

В разд. 1.1 рекурсивный фильтр был определен формулой

где член во второй сумме опущен. Предполагается, конечно, что не все равны нулю: в противном случае мы имели бы нерекурсивный фильтр.

Рекурсивный фильтр имеет большую «память», чем нерекурсивный нерекурсивный фильтр может охватывать только значения в диапазоне от до Пример рекурсивного фильтра дает формула интегрирования, которая должна «помнить» все прошлые значения, включая значения на нижнем пределе интегрирования. В разд. 3.4 рассматривалось правило трапеций для интегрирования

где — константа, которое явно представляет рекурсивный фильтр. Аналогично формула Симпсона

где — константа, является также рекурсивным фильтром.

Даже небольшой набор коэффициентов в рекурсивном фильтре позволяет запомнить все прошлые значения. В простейшем случае,

где все равны нулю, за исключением и все у для отрицательных индексов равны нулю, получаем

Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию значений для в которой значение дает о себе знать постоянно. Эта способность помнить значения, которые имели место в отдаленном прошлом, является ценным качеством рекурсивного фильтра для многих ситуаций.

Различные рекурсивные фильтры применяются в задачах с «реальным временем», в которых значения данных х„ и выхода для индексов недоступны для использования в тот момент, когда вычисляется Такие фильтры часто называются (разд. 1.1) физически реализуемыми в противоположность типовому нерекурсивному фильтру, который физически нереализуем в том смысле, что в нем при вычислении значения данные

для используются из будущего. Хотя физически нереализуемые рекурсивные цифровые фильтры возможны, они встречаются так редко, что мы сконцентрируем внимание на рекурсивных фильтрах в форме

(см. также разд. 11.6). Несмотря на то, что физически реализуемые фильтры являются «односторонними», будем называть их рекурсивными фильтрами. Иногда они называются фильтрами с «бесконечной импульсной характеристикой» за их способность давать отклик от одиночного импульса произвольно долго в будущем. Для них часто применяется сокращение БИХ-фильтры. Соответственно нерекурсивные фильтры с «конечной импульсной характеристикой» имеют сокращение КИХ-фильтры. Примеры вырожденных рекурсивных фильтров, у которых отклик на импульс не продолжается бесконечно, здесь не будут рассматриваться.

Напомним, что для линейной системы выходная частота должна быть такой же, как и входная (разд. 2.5), поэтому, сделав обычные подстановки

получим в качестве передаточной функции

Следовательно, передаточная функция рекурсивного фильтра есть рациональная функция относительно

Теперь мы в состоянии понять, почему рекурсивный фильтр может обладать вторым важным свойством, а именно тем, что переходная полоса от пропускания до непропускания может у него быть узкой. Это следует из того, что когда полином в знаменателе приближается к нулю, частное может быстро изменяться, резко возрастать.